1.5定积分的概念(3)

1.5定积分的概念

汽车行驶的路程

汽车以速度v作匀速直线运动时，经过时间 所行驶 汽车以速度 作匀速直线运动时，经过时间t所行驶 作匀速直线运动时 的路程为S=vt. 的路程为

如果汽车作变速直线运动，在时刻 的速度为 如果汽车作变速直线运动，在时刻t的速度为 v(t)=-t²+2(单位：km/h),那么它在 ≤t≤1(单位：h) 单位： 那么它在0 单位： 单位 那么它在 单位这段时间内行驶的路程S(单位： 是多少？ 这段时间内行驶的路程 单位：km)是多少？ 单位 是多少

(1)分割 分割 在区间[0,1]上等间隔地插入 个点，将它等分成 个小 上等间隔地插入n-1个点 将它等分成n个小 个点， 在区间 上等间隔地插入 区间： 区间：

n 1 1 1 2 [0, ],[ , ],L[ ,1] n n n ni 1 i 记第i个区间为 [ , ](i = 1,2,L, n), n n

i i 1 1 其长度为 x = = n n n

1 1 2 n 1 把汽车在时间段 0, ],[ , ],L[ [ ,1] n n n n 上行驶的路程分别记作：

S1, S2 ,L Sn显然，S = ∑ Sii=1 n

(2)近似代替 近似代替

当n很大，即 t很小时，i 1 i 2 [ 在区间 , ]上，可以认为函数v(t) = t + 2 n n 的值变化很小，近似地等于一个常数，i 1 i 1 不妨认为它近似地等于左端点 处的函数值v( ) n n

从物理意义上看，就是汽车在时间段i 1 i [ , ](i = 1,2,3,L, n)上速度的变化很小， n n i 1 不妨近似地以时刻 处的速度 n i 1 i 1 2 v( ) = ( ) + 2作匀速行驶， n n 即在局部小范围内“以匀速代变速”,则有

i 1 i 1 2 Si ≈ S'i = f ( ) x = [ ( ) + 2] x n n

( )求和 3 图中阴影部分的面积Sn为

i 1 i 1 2 1 2 Sn = ∑ S'i = ∑v( ) t = ∑[ ( ) + ] n n n n i=1 i=1 i=1n n n

1 12 1 n 1 2 1 = 0 ( ) L ( ) +2 n n n n n 1 2 2 2 = 3 [1 + 2 +L+ (n 1) ] + 2 n 1 (n 1)n(2n 1) 1 1 1 = 3 + 2 = (1 )(1 ) + 2 n 6 3 n 2n

从而得到S的近似值 1 1 1 S ≈ Sn = (1 )(1 ) + 2 3 n 2n

( )取极限 4 当n趋向于无穷大时，即 x趋向于0时，

1 1 1 Sn = (1 )(1 ) + 2趋向于S,从而有 3 n 2n1 i 1 S = lim Sn = lim ∑ v( ) n→∞ n→∞ n i 1 n 1 1 1 5 = lim[ (1 )(1 ) + 2] = n→∞ 3 n 2n 3n