2018年高中数学 第1章 计数原理 1.3 组合教学案 苏教版选修2-3

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1 1.3 组合

第1课时 组合与组合数公式

从1，3，5，7中任取两个数相除或相乘．

问题1：所得商和积的个数相同吗？

提示：不相同．

问题2：它们是排列吗？

提示：从1，3，5，7中任取两个数相除是排列，而相乘不是排列．

问题3：一个小组有7名学生，现抽调5人参加劳动．所抽出的这5人与顺序有关吗？ 提示：无关．

问题4：你能举个这样的示例吗？

提示：从班里选7名同学组成班委会．

一般地，从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个元素中取出m 个不同元素的一个组合

.

从1，3，5，7中任取两个数相除．

问题1：可以得到多少个不同的商？

提示：A 2

4＝4×3＝12种．

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2 问题2：如何用分步法理解“任取两个数相除”？

提示：第一步，从这四个数中任取两个元素，其组合数为C 2

4，第二步，将每一组合中的两个不同元素作全排列，有A 22种排法．

问题3：你能得出C 24的结果吗？

提示：因为A 24＝C 24A 22，所以C 24＝A 24A 22＝6. 问题4：试用列举法求得从1，3，5，7中任取两个元素的组合数？

提示：1，3；1，5；1，7；3，5；3，7；5，7共6种．

组合数与组合数公式

1．组合的特点是只取不排

组合要求n 个元素是不同的，被取出的m 个元素也是不同的，即从n 个不同的元素中进行m 次不放回地取出．

2．组合的特性

元素的无序性，即取出的m 个元素不讲究顺序，没有位置的要求．

3．相同的组合

根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同(不管顺序如何)，就是相同的组合．

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3

[例1] 判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果．

(1)高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？

(2)高二年级数学课外小组有10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？

[精解详析] (1)①是排列问题，共通了A 211＝110封信；

②是组合问题，共握手C 211＝55次．

(2)①是排列问题，共有A 210＝90种选法；

②是组合问题，共有C 210＝45种选法．

[一点通] 区分排列与组合的关键是看取出元素后是按顺序排列还是无序地组在一起．而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化．若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．

1．下列问题：

①铁路线有5个车站，要准备多少车票？

②铁路线有5个车站，有多少种票价？

③有4个篮球队进行单循环比赛，有多少种冠亚军的情况？

④从a ，b ，c ，d 4名学生中选出2名学生，有多少种不同选法？

⑤从a ，b ，c ，d 4名学生中选出2名学生完成两件不同的工作有多少种不同选法？ 其中是组合问题的是________．(将正确的序号填在横线上)

解析：来往的车票是不同的，因为它具有方向性，即有序；而来往的票价是相同的，没

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4 有方向性；单循环是无序的，但冠亚军却有明显的顺序；从4名学生中选出2名学生无顺序；而2名学生完成两件不同的工作是有序的．

答案：②④

2．求出问题1中组合问题的组合数．

解：②铁路线有5个车站，有C 2

5＝10种不同的票价．

④从a ，b ，c ，d 4 名学生中选出2名学生，有C 24＝6种不同的选法

.

[例2] (1)计算：C 410－C 37·A 33；

(2)解方程3C x －7x －3＝5A 2

x －4.

[思路点拨] (1)直接利用公式计算；

(2)由计算公式化为关于x 的方程．

[精解详析] (1)原式＝C 410－A 37

＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0. (2)由排列数和组合数公式，原方程可化为

3·（x －3）！（x －7）！4！＝5·（x －4）！（x －6）！

， 则3（x －3）4！＝5x －6

，即为(x －3)(x －6) ＝40. 所以，x 2－9x －22＝0，解之可得x ＝11或x ＝－2.

经检验知x ＝11是原方程的根，x ＝－2是原方程的增根．

所以，方程的根为x ＝11.

[一点通] 组合数公式的乘积形式体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体的组合数时会用到．

组合数公式阶乘形式的主要作用有：

(1)计算m ，n 较大时的组合数；

(2)对含有字母的组合数的式子进行变形和证明．

特别地，当m >n 2

时计算C m n ，用性质C m n ＝C n －m

n 转化，减少计算量．

3．计算C 36＋C 38＝________．

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5 解析：C 36＋C 38＝6×5×43×2×1＋8×7×63×2×1

＝20＋56＝76. 答案：76

4．计算下列各式的值．

(1)C 98100＋C 199200；(2)C 37＋C 47＋C 58＋C 6

9.

解：(1)C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200＝100×992×1

＋200＝5 150. (2)原式＝C 48＋C 58＋C 69＝C 59＋C 69＝C 610＝C 410＝210.

5．(1)求C 38－n 3n ＋C 3n 21＋n 的值；

(2)求等式C 5n －1＋C 3n －3C 3n －3＝345

中的n 值． 解：(1)∵?????0≤38－n ≤3n ，0≤3n ≤21＋n ，即?????192≤n ≤38，0≤n ≤212，

∴192≤n ≤212. ∵n ∈N *，∴n ＝10，

∴C 38－n 3n ＋C 3n 21＋n ＝C 2830＋C 3031＝C 230＋C 131＝466.

(2)原方程可变形为C 5n －1C 3n －3＋1＝345，C 5n －1＝145

C 3n －3， 即（n －1）（n －2）（n －3）（n －4）（n －5）5！ ＝145·（n －3）（n －4）（n －5）3！

， 化简整理，得n 2

－3n －54＝0.

解此二次方程得n ＝9或n ＝－6(不合题意，舍去)，

故n ＝9为所求

. [例3] 在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？

(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；

(3)甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．

[思路点拨] 本题属于组合问题中的最基本问题，可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正确的判断，然后利用组合数公式解决．

[精解详析] (1)C 512＝792种不同的选法．

(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C 29＝36种不同的选法．

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(3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C59＝126种不同的选法．

(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．分两步，先从甲、乙、丙中选1人，有C13＝3种选法，再从另外的9人中选4人有C49种选法．共有C13C49＝378种不同的选法．[一点通] 解简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问题，取出元 …… 此处隐藏：8546字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……