第五、六章 _习题课 数值分析

第五、六章 _习题课 数值分析

第五、六章 线性方程组的解法_习题课

x x x 1.用列主元消去法解线性方程组 x x x ，第1次消元，选择主元为( C )

x x x

(A) 3 (B) 4 (C) －4 (D) －9

2.解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是( A )。

A.控制舍入误差 B. 减小方法误差

C.防止计算时溢出 D. 简化计算

3.解线性方程组的主元素消元法中，选择主元的目的是( 减少舍入误差 )；

4 10 0 1 4 1 14 14.设A 14 1 ，则A的LU分解为A 4 。

1 0 0 14

5.设 3A 2

1

2 2 x 3 1 ,,则||A

|| 5,A2 ||x||1 5,||Ax||1 7. 6. 若A 32 5 ，则矩阵A的谱半径 (A) 3 ，A

22 3 7. 设A 051 ，则 (A) ( C ).

00 7

A. 2 B. 5 C. 7 D. 3

8.解线性方程组Ax=b的迭代格式x(k+1)=Mx(k)+f收敛的充要条件是( D )。 (A) M 1 (B) (A) 1 (C)

9.求解方程组 (M) 1 (D) (M) 1 3x1 5x2 1的高斯—塞德尔迭代格式为 该迭代格式的迭代矩阵的

0.2x1 4x2 0

谱半径 (M)

(k 1)(k) x1 (1 5x2)/31 答案: ，，收敛的； (k 1)(k 1)12 x1/20 x2

10.用高斯－赛德尔迭代法解线性方程组

的迭代格式中

＝ (k=0,1,2,…)

解答 高斯－赛德尔迭代法就是充分利用已经得到的结果，求x2的值时应该用x1的新值。答案是：

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11.当

( )时，线性方程组

的迭代解一定收敛。

(A) >6 (B) =6 (C) <6 (D) > 6

解答：当 a >6时，线性方程组的系数矩阵是严格对角占优矩阵，由教材第3章定理知，迭代解一定收敛。应选择(A)。

12.已知向量X=（1，-2，3）,求向量X的三种常用范数。

nn

解 X

miaxi 3，X1 xi 6,Xx2

i

i 12 i 1

14.已知矩阵A 2 1

22 ，求矩阵A的三种常用范数。

3n

解 A

miax aij 4，A1 max aij 4，

j 1ji 1

ATA 22 2 1 82

12 22 25

ATA I 8 2 2

25 13 36 ( 4)( 9)

A2 1 9 3

15. 设A 13

24 ，x 1

1

求||x||1,||x|| ,||x||2,||A|| ,||A||1,||A||F,||Ax||2 解：||x||1 2,||x|| 1,||x||2 2,||A|| 6,||A||1 7，||A||F ，||Ax||2 6.3246

x1 x2 2x3

16.给定线性方程组 1

5x1 4x2 3x3 12

2x1 x2 4x3 8

(2) 建立收敛的Jacobi和Gauss-Seidel迭代格式。

1 1 2 1 3027 3027

解（2）A 5 43 12 5 43 12

2148 2 41 19

48

21 2148

x(k 1)1

1 x(k)7

2

33

Jaccobi: x(k 1) 1x(k)1(k)19

221 4x3 4

(k1(k)1(k)

x 1)

3 2x1 4x2 2

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x(k 1)

1 1x(k) 7

2

33

G-S: x(k 1) 1x(k 1)1(k)19

221 4x3 4

x(k 1)

3 1

2x(k 1)1(k 1)

1 4x2 2

4x1 3x2 x3

17.给定线性方程组 5

5x1 2x2 10x3 21

2x1 11x2 4x3 12

(2)建立收敛的Gauss-Seidual迭代格式。

解:(2) 将A化为严格对角占优，得

4 3 1 5

第一行A 3 12 9 3 15 b 5 21021 5 21021

11 412

2 211 412

第一行 第三行 142 7 3

第二行 第三行 211 412

21021

5

则g_s迭代格式为

(k 1)(

xk) 1/2x(k)

1 1/7x23 3/14

x(k 1)

2 2/11x(k 1)(k)

1 4/11x3 12/11

x(k 1)

3 1/2x(k 1)

1 1/5x(k 1)

2 21/10

18. 取初始向量X(0)=(0,0,0)T,用雅可比迭代法求下列线性方程组的第四次迭代解

解 建立迭代公式

(k=1,2,3,…)

第1次迭代,k=0， X(0)＝0，得到X(1)＝(1,3,5)T,

第2次迭代，k=1，

，得到 X(2)＝(5,－3,－3)T

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第3次迭代，k=2，

，得到X(3)＝(1,1,1)T

第4次迭代，k=3，

，得到X(4)＝(1,1,1)T

19.已知方程组 a21 x1 1 2a2 x

2 2

12a x3 1

（1）写出解此方程组的雅可比法迭代公式

（2）证明当a 4时，雅可比迭代法收敛

（3）取a 5,X(0) (1,1

5,1

10)T，求出X(2)

10。

解 （1）对i 1,2,3，从第i个方程解出xi，得雅可比法迭代公式为：

x(m 1)1(m)(

1 (1 2xm)

2 x3)

a

x(m 1) 1(2 2x(m)(m)

2a1 2x3),m 0,1,

(m 1)1

xa1 x(m)2x(m)

3 (1 2)

（2）当a 4时，A为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法收敛。

（3）取a 5，X(0) (1

10,1

5,1

10)T

由迭代公式计算得

x(1)181

1 10， x(1)(1)

2 25， x3 10

x(2)13(2)8(2)13

1 250， x2 25， x3 250

则 X（2）=（13

250， 813

25，250）T

20.用高斯——塞德尔迭代法解方程组 510 151 x1 4

x 3

2

015 x3 4

（1）证明高斯——塞德尔迭代法收敛

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（2）写出高斯——塞德尔法迭代公式

（3）取X（0） （000）T，求出X（2）

解 （1）因为A为严格对角占优矩阵，故高斯——塞德尔迭代收敛。

（2）对i 1,2,3，从第i个方程解出xi，得高斯——塞德尔法迭代公式为

x(m 1)

1 1(4 x(m)

2)

5

x(m 1) 1( 3 x(m 1)(m)

1 x3),m 0,1,

25

（m 1)1

x3 5(4 x(m 1)

2)

（3） x(1)4(1)19(1)119

1 5， x2 25， x3 125

x(2)119

1 125， x(2)

2 613(2)1887

625， x3 3125

则X（2）=（1196131887T

125， 625，3125）

21.对方程组 3x1 2x2 10x3 15 10x1 4x2 x3 5

2x1 10x2 4x3 8

（1） 试建立一种收敛的Gauss-Seidel迭代公式，说明理由；

（2） 取初值x(0) (0,0,0)T，利用（1）中建立的迭代公式求解，||x(k 1) x(k)|| 10 3。

解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优

10x1 4x2 x3 5

2x1 10x2 4x3 8

3x1 2x2 10x3 15

故对应的高斯—塞德尔迭代法收敛.迭代格式为

x1(k 1) 1(4x2(k) x3(k) 5)

10

x(k 1) 1( 2x(k 1

2101) 4x3(k) 8)

(k 1)1(k 1)(

x3 10( 3x1 2x2k 1) 15)

取x(0) (0,0,0)T,经7步迭代可得：

x* x(7) (0.999991459,0.999950326,1.000010)T.

22. 用 …… 此处隐藏：2155字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……