初三数学竞赛专题讲座(三)

初三数学竞赛专题讲座

——有关三角形与四边形的竞赛题 [例题精讲]

例1、如图，P 是等边三角形ABC 内部的一点，PA=2，PB=32，PC=4. 求ΔABC 的边长.

例2、如图所示，A 、B 、C 、D 是一个凸四边形的四个顶点，在ABCD 所在平面上求一点P ，使得PA+PB+PC+PD 最小.

例3、在ΔABC 中，已知∠A=90º，AB=AC ，BD 是中线，AE ⊥BD 于E ，延长AE 交BC 于F.求证：∠ADB=∠CDF.（99年天津市初中数学竞赛题）

例4、已知：如图，以ΔABC 的AB 、AC 为斜边向外作直角三角形ABD 和ACE ，∠ADB=∠AEC=90º，且使∠ABD=∠ACE ，M 是BC 的中点.

求证：DM=EM.（98年“祖冲之杯”邀请赛试题）

A

B C D A C D F C B

A

P

例5、已知：在ΔABC 中，∠ACB=90º，∠ABC=15º，BC=1，则AC 的长为（ ）

（A ）2+3 （B ）32-（C ）0.3 （D ）23-

例6、ΔABC 的面积为1，D 、E 为BC 的三等分点，F 、G 为CA 的三等分点（如图所示）. 求四边形PECF 的面积.

例7、已知：如图，边长为a 的菱形ABCD 中，∠DAB=60º，E 是异于A 、D 两点的动点，F 是CD 上的动点，满足：AE+CF=a.

求证：无论E 、F 怎样移动，三角形BEF 总是正三角形.

A B C D E F C G A B D E

P F

[练习题]：

1、如图，ABCD 、BEFG 是两个放在一起的正方形，请你证明ΔDEG 的面积等于大正方形BEFG 面积的一半.

2、在ΔABC 中，AB=3AC.

问：（1）在ΔABC 中，哪条边是最小边？

（2）AC

BC 的值在什么范围内变化？

3、已知：在ΔABC 中，AD 为高，且AB+CD=AC+BD.

求证：AB=AC.

4、如图，AB ∥EF ∥CD ，已知AB=10，CD=40，则EF = . A C

D E F