空间向量与立体几何.板块三.用空间向量判断位置关系.学生版

【例1】 已知空间四边形OABC 中，AOB BOC AOC ==∠∠∠，且O A O B O C ==，M 、N

分别是OA 、BC 的中点，G 是MN 的中点，求证：OG BC ⊥．

【例2】 如图，已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为a 的菱形，且

1160C CB C CD BCD ===?∠∠∠，

⑴求证：1C C BD ⊥； ⑵当1

CD CC 的值为多少时，能使1A C ⊥平面1C BD ？ D 1C 1B 1

A 1

D C B

A

【例3】 已知A D B ?和ADC ?都是以D 为直角顶点的直角三角形，且

60AD BD CD BAC ==∠=，°．

⑴求证：BD 是平面ADC 的法向量；

⑵若H 是ABC ?的垂心，求证：DH 是平面ABC 的法向量．

【例4】 如图，在五棱锥S ABCDE -中，SA ⊥底面ABCDE ，

2SA AB AE BC DE =====，120BAE BCD CDE ∠=∠=∠=°．证明：BC 是平面SAB 的法向量． 典例分析

板块三.用空间向量判断位置关系

S

E

D

C

B

A

【例5】 如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，ABE ?是等

腰直角三角形，AB AE =，FA FE =，45AEF ∠=?． ⑴求证：EF ⊥平面BCE ；

⑵设线段CD 的中点为P ，在直线AE 上是否存在一点M ，使得PM ∥平面BCE ？若存在，请指出点M 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由； ⑶求二面角F BD A --的大小．

P F

E D C B

A

【例6】 如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD ，AD BC FE ∥∥，AB AD ⊥，

M 为EC 的中点，12

AF AB BC FE AD ====． ⑴求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； ⑵证明平面AMD ⊥平面CDE ；

⑶求二面角A CD E --的余弦值．

M

F E

D C B A

【例7】 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，

PD DC =，E 是PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于点F ． ⑴证明：PA ∥平面EDB ；

⑵证明：PB ⊥平面EFD ；

⑶求二面角C PB D --的大小．

P

F E

D

C

B A

【例8】 如图，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE CF ∥， 90BCF CEF ∠=∠=?

，AD =，2EF =． ⑴ 求证：AE ∥平面DCF ；

⑵ 当AB 的长为何值时，二面角A EF C --的大小为60?？

F

E D

C

B

A

【例9】 如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，2PA =，45PDA ∠=?，点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点．

F

E

D

C B A P

⑴求证：AF ∥平面PCE ；

⑵求证：平面PCE ⊥平面PCD ；

⑶求三棱锥C BEP -的体积．

【例10】 如图，已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 、G 分别是AB 、PC 、CD 的中点，1PA AB AD ===， ⑴求证：EF ∥平面PAD ；

⑵求证：EF CD ⊥，EF PD ⊥，且12EF PD =；

⑶求直线PD 与AC 所成的角； ⑷求直线AP 与平面PCD 所成的角； ⑸求平面PAB 与平面PCD 所成的角．

F E G

P

D C B A