四川省绵阳市2018届高三第二次诊断性考试试题数学理扫描版含答案

绵阳市高2018级第二次诊断性考试

数学(理工类)参考解答及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

DBBCA CDDCA BD

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．93 14．-5 15．116．①③④

16题提示：③设|BM |=|BO |=m ，|CN |=|CO |=n ，

由①得|PM |=|PN |=9．

由题知圆E 与x 轴相切，于是圆E ：x 2+(y -2)2=4是△PBC 的内切圆， 根据公式S △PBC =

)(21c b a r ++(其中r 为内切圆半径，a ，b ，c 为△PBC 的边长)得：21|BC |?y 0=21×2×2(|PM |+|BO |+|CO |),即2

1(m +n )×9=2(9+m +n )，解得536=+n m ，故S △PBC 5162953621=??=． ④同③可得2

1(m +n )?y 0=2(y 0+m +n )， 解得4400-=+y y n m ， 故S △PBC ]8)

4(16)4[(24421)(21000200+-+-?=-?=+=y y y y y n m ≥32． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．

17．解：（Ⅰ）已知C B A tan 3

1tan 21tan ==， ∴ tan B =2tan A ，tan C =3tan A ，

在△ABC 中，tan A =-tan(B +C )=A

A A C

B

C B 2tan 61tan 3tan 2tan tan 1tan tan -+-=-+-，………3分 解得tan 2A =1，即tan A =-1，或tan A =1．……………………………………4分 若tan A =-1，可得tan B =-2，则A ，B 均为钝角，不合题意． ……………5分 故tan A =1，得A =4π

．…………………………………………………………6分

（Ⅱ）由tan A =1，得tan B =2，tan C =3，

可得sin B =2cos B ，sin C =3cos C ， ……………………………………………7分 结合sin 2B +cos 2B =1，sin 2C +cos 2C =1，

可得sin B =52

，sin C =103

， (负值已舍) ……………………………………9分

在△ABC 中，由B b A a sin sin =，得b =a a a A B 51022

2

52

sin sin ==， …………11分 于是S △ABC =21ab sin C =25

3103510221a a a =??， ∴ 25

3a =15，解得a =5．………………………………………………………12分

18．解：（Ⅰ）根据题意得：a =40，b =15，c =20，d =25，

∴ 879.7249.845554060)20152540(1002

2

>≈????-??=K ， ……………………………4分 ∴ 在犯错误的概率不超过0.005的前提下可以认为网购与年龄有关．……5分 （Ⅱ）根据题意，抽取的9人中，年轻人有

=?960406，中老年人=?960

203人． 于是X =0，1，2，3，

∴ 8420)0(3936===C C X P ，8445)1(391326===C C C X P ， 8418)2(3923

16===C C C X P ，841)3(39

33===C C X P ， ∴ X 的分布列为：

………………………………………………………10分

∴ X 的数学期望184

13841828445184200)(=?+?+?+?=X E ．…………………12分 19．解：（Ⅰ）∵ b n+1)1(log 1))1(4[log )1(log 4414-+=-=-=+n n n a a a =1+b n ， ∴ b n+1-b n =1(常数)， …………………………………………………………3分

∴ 数列{b n }是以b 1=log 44=1为首项，1为公差的等差数列，

∴ b n =1+(n -1)×1=n ． …………………………………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知b n =n ，于是2

)1(+=n n S n ， ………………………………6分 于是(-1)n kb n <2S n +n +4等价于(-1)n kn <n 2+2n +4，

即等价于(-1)n 24++

<n

n k ．……………………………………………………7分 ①当n 为偶数时，原式变为24++<n n k ， ∵ 24++n n ≥242+?n n =6（当且仅当n =n

4，即n =2时“=”成立） ∴ n =2时，24++n

n 取最小值6， 故k <6． …………………………………………………………………………9分

②当n 为奇数时，原式变为2)4(-+->n

n k ，

令函数f (x )=2)4(-+-x

x ，x >0，则222)2)(2(4)(x x x x x x f +--=-='， 当x ∈(0，2)时，0)(>'x f ，当x ∈(2，+∞)时，0)(<'x f ，

即f (x )在(0，2)上单调递增，在(2，+∞)上单调递减，

由f (1)=-7<f (3)=319-

，即f (n )≥319-(n 为奇数)， ∴ k >3

19-． ……………………………………………………………………11分 综上所述，k 的取值范围为(319-

，6)． ……………………………………12分 20．解：（Ⅰ）设M (x ，y )，P (x 0，y 0)， 则D (x 0，0)，

∴ =(0，y 0)，=(x -x 0，y )，

由=0=2(x -x 0)，y 0=y 2，即y y x x 200==，， ………2分 又点P 在圆x 2+y 2=8上，代入得x 2+2y 2=8，

∴ 曲线C 的方程为：14

82

2=+y x ． …………………………………………4分 （Ⅱ）①当直线AB 斜率不存在时，x 轴平分∠AQB ，x 轴上所有点都满足条件．

………………………………………………5分

②当直线AB 斜率存在时，假设存在满足题意的点Q (x Q ，0) ．

可设方程为y =k (x -2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．

联立方程组得：???=-+-=，

，082)2(22y x x k y 整理得(2k 2+1)x 2-8k 2x +8k 2-8=0， ∴ x 1+x 2=1

2822+k k ，x 1x 2=128822+-k k ， …………………………………………8分 ∵ ∠AQO=∠BQO ，

∴ k QA +k QB =0，即02211=-+-Q

Q x x y x x y ， …………………………………10分 将y 1=k (x 1-2)，y 2=k (x 2-2)代入整理得：

2 x 1x 2-(x Q +2)(x 1+x 2)+x Q =0， 即12161622+-k k -(x Q +2)×1

2822

+k k +4x Q =0， 化简得x Q =4，

故此时存在点Q (4，0)，使得∠AQO=∠BQO ．……………………………12分

21．解：（Ⅰ）由已知可得a e x f x -=')(．

当a <0时，)(x f '>0，

∴ )(x f 在R 上单调递增，且当+∞→-∞→)(x f x ，，不合题意．

当a =0时，11)(->-=x e x f ，而-1<1-2ln2，不合题意．…………………3分 当a >0时，由0)(>'x f 解得a x ln >，由0)(<'x f 解得a x ln <，

∴ )(x f 在(∞-，a ln )上单调递减，在(a ln ，+∞)上单调递增，

∴ )(x f min =)(ln a f =1ln --a a a ．

要使)(x f ≥2ln 21-恒成立，则须使1ln --a a a ≥2ln 21-恒成立，

令1ln )(--=a a a a g ，则a a g ln )(-='，

显然当0<a <1时，)(a g '>0，当a >1时，)(a g '<0，

于是函数)(a g 在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)单调递减，

∵ )1(g =0，)2(g =2ln 21-，

∴ a 的最大值是2．……………………………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知a =2，2)(-='x e x f ， 故03)2)(21(03)()21(<++--?<++'-x e k x x x f k x x ．

令h (x )=3)2)(2

1(++--x e k x x ，(x >1，k ∈N *) 存在x 0>1，使得h (x 0)<0成立，即h (x )min <0．………………………………8分 又x e k x x h )21(2

1)(-+=

'， 当k =1时，)(x h '>0，h (x )在(1，+∞)上单调递增， 而h (1)= 52

1+-e >0不合题意． 当k ≥2时，由)(x h '>0解得x >2k -1，由)(x h '<0解得1 …… 此处隐藏：2537字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……