概率论与数理统计教程华东师大茆诗松版第二章

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第二章 随机变量及其分布

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第二章§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.6 §2.71 October 2010

随机变量及其分布

随机变量及其分布 随机变量的数学期望 随机变量的方差与标准差 常用离散分布 常用连续分布 随机变量函数的分布 分布的其他特征数华东师范大学

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第二章 随机变量及其分布

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§2.1 随机变量及其分布(1) 掷一颗骰子， 出现的点数 X 1,2,……,6. (2) n个产品中的不合格品个数 Y 0,1,2,……,n (3) 某商场一天内来的顾客数 Z 0,1,2,…… (4) 某种型号电视机的寿命 T :1 October 2010

[0, +∞)华东师范大学

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2.1.1 随机变量的定义定义2.1.1 设 ={ω}为某随机现象的样本空间， 称定义在上的实值函数X=X(ω)为随机变量.

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注 意 点 (1)(1) 随机变量X(ω)是样本点ω的函数， 其定义域为 ，其值域为R=(∞,+∞) 若 X 表示掷一颗骰子出现的点数， 则 {X=1.5} 是不可能事件. (2) 若 X 为随机变量，则 {X = k} 、 {a < X ≤ b} 、…… 均为随机事件. 即 {a < X ≤ b} ={ω;a < X(ω)≤ b } 1 October 2010

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第二章 随机变量及其分布

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注 意 点 (2)(3) 注意以下一些表达式： {X = k}= {X ≤ k}{X < k}; {a < X ≤ b} = {X ≤ b}{X ≤ a}; { X > b} = {X ≤ b}. (4) 同一样本空间可以定义不同的随机变量.1 October 2010

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第二章 随机变量及其分布

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两类随机变量若随机变量 X 可能取值的个数为有限个或 可列个，则称 X 为离散随机变量. 若随机变量 X 的可能取值充满某个区间 [a, b],则称 X 为连续随机变量. 前例中的 X, Y, Z 为离散随机变量； 而 T 为连续随机变量.

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2.1.2

随机变量的分布函数 随机变量的分布函数

定义2.1.2 设X为一个随机变量，对任意实数 x,称 F(x)=P( X≤ x) 为 X 的分布函数.

基本性质：(1) F(x) 单调不降； (2) 有界：0≤F(x)≤1,F(∞)=0,F(+∞)=1; (3) 右连续.1 October 2010

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2.1.3 离散随机变量的分布列设离散随机变量 X 的可能取值为： x1,x2,……,xn,…… 称 pi=P(X=xi), i =1, 2, …… 为 X 的分布列. 分布列也可用表格形式表示： X P1 October 2010

x1 p1

x2 …… xn …… p2 …… pn ……华东师范大学

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分布列的基本性质pi ≥ 0,

(1)

(非负性) (正则性)

(2)

∑pi =1.i

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注 意 点 (1)求离散随机变量的分布列应注意： (1) 确定随机变量的所有可能取值; (2) 计算每

个取值点的概率.

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注 意 点 (2)对离散随机变量的分布函数应注意： (1) F(x)是递增的阶梯函数; (2) 其间断点均为右连续的; (3) 其间断点即为X的可能取值点; (4) 其间断点的跳跃高度是对应的概率值.

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例2.1.1 已知 X 的分布列如下：X P 0 1 2 1/2 1/3 1/6

求 X 的分布函数.x<0 0≤x<1 1≤x<2 2≤x华东师范大学

解：

0, 1/3, F(x) = 1/2, 1,

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例2.1.2

已知 X 的分布函数如下,求 X 的分布列.

0, 0.4, F(x) = 0.8, 1,

x<0 0≤x<1 1≤x<2 2≤x

解：

X P

0 0.4

1 0.4

2 0.2华东师范大学

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2.1.4 连续随机变量的密度函数 连续随机变量的密度函数连续随机变量X的可能取值充满某个区间 (a, b). 因为对连续随机变量X,有P(X=x)=0, 所以无法仿离散随机变量用 P(X=x) 来描述连续 随机变量X的分布. 注意离散随机变量与连续随机变量的差别.

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定义2.1.4设随机变量X 的分布函数为F(x), 若存在非负可积函数 p(x) ,满足：

F(x) = ∫

x

∞

p(t)dt

则称 X 为连续随机变量， 称 p(x)为概率密度函数，简称密度函数.

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密度函数的基本性质(1) p(x) ≥ 0; (非负性)(2) ∫ p(x)dx=1 (正则性) .∞ ∞

满足(1) (2)的函数都可以看成某个 连续随机变量的概率密度函数.

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