2010年全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数学试题参考答案

全国硕士研究生考试题农学类

2010年全国硕士研究生入学统一考试

农学门类联考

数学试题参考答案

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．

ex e3(1) 设函数f(x)=，则 ( )

x 3x e(A) x=3及x=e都是f(x)的第一类间断点. (B) x=3及x=e都是f(x)的第二类间断点.

(C) x=3是f(x)的第一类间断点，x=e都是f(x)的第二类间断点. (D) x=3是f(x)的第二类间断点，x=e都是f(x)的第一类间断点. 答案：C

ex e31ex e31exe3

, 详解：lim=lim=lim=

→→x→3x 3x ex3x3x 33 e3 e13 eex e3ee e31

==∞, limlim

→x→ex 3x exee 3x e

∴x=3 是f(x)的第一类间断点,

x=e 是f(x)的第二类间断点. (2) 曲线y=

x

(x 4)

2

的凸弧区间是 ( )

(A)( ∞, 8). (B)( 8, 4). (C)( 4,4). (D)(4,+∞). 答案：A 详解：y=

x

(x 4)

2

, y′=

x 4

(x 4)

3

, y′′=

2x+16

(x 4)

4

<0,

∴在 ( ∞, 8)上，曲线是凸的

(3) 设函数f(x)，g(x)具有二阶导数，g(x0)=a,g′(x0)=0,g′′(x)<0，则fg(x)在

()

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x0取极大值的一个充分条件是 ( )

(A) f′(a)<0. (B) f′(a)>0. (C) f′′(a)<0. (D) f′′(a)>0. 答案：B 详解：f g(x)

{

}′=f′ g(x) g′(x),

=f′′ g(x) g′(x) +f′ g(x) g′′(x), 由于 g′(x0)=0，得：

2

{

f g(x)

}

′′

′′

gx (){f } =f′ g(x) g′′(x)=f′(a) g′′(x)<0.

由于 g′′(x0)<0，所以 f′(a)>0

(4) 设函数f(x)在区间[0,1]上连续，0<f(x)<1，且

∫

1

f(x)dx<

1

，记 2

I1=∫

10011

∫

，I2=∫

11

00

∫f(x)(1 f(y))dxdy，

I3=∫

00

∫(f(x)f(y))dxdy，则 ( )

(A)I1<I2<I3. (B)I1<I3<I2. (C)I2<I1<I3. (D)I3<I2<I1. 答案：D 详解： I1=

∫

01

∫

1

=∫

∫

1

I2=∫f(x)dx ∫ 1 f(y) dy=∫0f(x)dx ∫0 1 f(x) dx 00

I3=

1

∫

1

f(x)dx ∫f(y)dy=∫f(x)dx ∫f(x)dx,

111

由于 0<f(x)<1，所以 >f(x)>1 f(x)

∴∫

又

>∫f(x)dx，∴∫

1

>∫ 1 f(x) dx，∴I1>I2. 0

1

1

1

11 fxdx=1dx fxdx=1 fxdx，且. <fxdx()()()() ∫0 ∫0∫0∫0∫0

2

1

1

1

1

1

∴∫ 1 f(x) dx>∫0f(x)dx, 0

∴I2>I3, ∴I1>I2>I3

(5) 设向量组I:α1,α2, αr可由向量组II:β1,β2, βs线性表示，下列命题正确的是

( )

(A) 若向量组I线性无关，则r≤s. (B) 若向量组I线性相关，则r>s. (C) 若向量组II线性无关，则r≤s. (D) 若向量组II线性相关，则r>s. 答案：A

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详解：由于向量组I能由向量组II线性表示，所以r(I)≤r(II)，即

r(α1, ,αr)≤r(β1, ,βs)≤s

若向量组I线性无关，则r(α1, ,αr)=r，所以r=r(α1, ,αr)≤r(β1, ,βs)≤s，即

r≤s，选(A).

(6) 设A为4阶实对称矩阵，且A+A=O，若A的秩为3，则A相似于 ( )

2

1

1 . (B) (A) 1

0 1

1 . (D) (C) 1

0

答案：D

2

1

1 . 1

0 1

1 . 1

0

2

详解：设λ为A的特征值，由于A+A=0，所以λ+λ=0，即(λ+1)λ=0，这样A的特征值为-1或0。由于A为实对称矩阵，故A可相似对角化，即A～Λ，r(A)=r(Λ)=3，

1 1

1 1 ，即A～Λ= 。 因此，Λ= 1 1

00

事件A={0<X<1}，B= X<(7) 设随机变量X服从( 1,1)上的均匀分布，

(A) P(AB)=0. (B) P(AB)=P(A). (C) P(A)+P(B)=1. (D) P(AB)=P(A) P(B). 答案：D

1

则( ) ，4

1

1111

详解：P(AB)=P(0<x<1; <x<)=P(0<x<)==

444281

P(A)=P(0<x<1)=

2

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11 ( )

11=1 P(B)=P( <x<=4424

∴P(AB)=P(A) P(B)

1n2

(8) 设X1,…,Xn使来自总体N(μ,σ)(σ>0)的简单随机样本，记统计量T=∑Xi，

ni=1

2

则ET= ( ) (A)

σ2. (B) μ2. (C) σ2+μ2. (D) σ2 μ2.

答案：C

n

1n2112

DXi+E2(Xi) =σ2+u2 详解：ET=E(∑Xi)=E(∑Xi)= n ni=1ni=1n

所以选择C项

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．

x (9) lim =. x→∞x a

答案：e

x

a x =+lim1详解：lim x→∞x ax→∞ x a

x aa

a

x

axx a

=ea

2x2+sinx

(10) 曲线y=的水平渐近线的方程为y= . 2

cosx x

答案：y= 2

sinx22x+sinx2+0=== 2 lim详解：lim

x→∞cosx x2x→∞cosx 01 12

x

2

2+

(11) 已知一个长方形的长x以0.2m/s的速率增加，宽y以0.3m/s的速率增加，当x=12m，

y=5m时，其面积增加的速率为.

答案： 4.6m/s

详解：设x=x(t),y=y(t)，

2

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由题意知，在t=t0时刻x(t0)=12,y(t0)=5，且x′(t0)=0.2,y′(t0)=0.3， 又S(t)=x(t)y(t)，所以S′(t)=x′(t)y(t)+x(t)y′(t)

所以 S′(t0)=x′(t0)y(t0)+x(t0)y′(t0)=0.2 5+12 0.3=4.6

yx 1

(12) 函数z=在点(1,e)的全微分dz(1,e)=.

y

答案：dx+

1dy 2e

yx 11

，所以z(1,e)=1 ，且变形为 详解：因为z=ye

yz=yx 1=exlny 1

对上式两端微分，有zdy+ydz=e

xlny

1 x x lnydxxdyylnydxdy + =+

y y

yxlnyxyx yz

所以 dz=dx+dy …… 此处隐藏：5059字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……