d)(线性与非线性区别

非线性

非线性

简介

近十年以来，人们已不再将有限元分析 (FEA) 视为仅供分析师使用的工具，它已进入到实际的设计工作中。如今，CAD 软件中都内置了 FEA 功能，设计工程师可使用 FEA 作为日常设计工具，协助完成产品设计过程。

但是，直到最近，设计工程师所采用的大多数 FEA 应用程序还仅仅局限于线性分析。对于设计工程师所遇到的大多数问题，此类线性分析所得到的结果均与其实际特征大体接近。但是，有时也会出现需要采用非线性方法解决的更具挑战性的问题。

过去，工程师们不愿意使用非线性分析，因为使用这种方法对问题进行公式表示非常复杂并且需要很长的求解时间。现在，随着非线性 FEA 软件与 CAD 结合，情况有所改观，软件的使用也更加简便。此外，改进的求解算法辅之以强大的台式计算机性能，使求解时间大大缩短。十年前，工程师将 FEA 视为极具价值的设计工具。现在，他们开始认识到非线性 FEA 的优点并更深刻地理解了它对设计过程所产生的影响。

线性分析与非线性分析的区别

术语“刚度”定义了线性分析与非线性分析间的根本区别。刚度是零件或装配体的特性，用于表征其对所施加载荷的反应。影响刚度的因素有很多：1.

形状：

工字形横梁与槽形横梁具有不同的刚度。2.

材料：

与相同尺寸的钢制横梁相比，铁制横梁的刚度较低。

3. 零件支撑方式：对于相同的横梁，在只有一端支撑时的刚度要比带有两端嵌入式支撑时的刚度低，弯曲程度更大，如图

1 所示。

图 1：悬臂横梁（上图）比具有两端支撑的相同横梁（下图）的刚度要低。术语“刚度”定义了线性分析与非线性分析 间的根本区别。刚度是零件或装配体的特性，用于表征其对所施加载荷的反应。影响刚度 的三个主要因素为：形状、材料和零件的支 撑方式。

如果刚度变化足够小，则可以假定在变形过程

中形状或材料属性没有任何变化。此假设是线

性分析的基本原理。

非线性

当结构在载荷的作用下发生变形时，由于上述一个或多个因素的影响，其刚度会发生变化。如果变形很大，则其形状会发生变化。如果材料达到失效极限，则材料属性将会变化。

另一方面，如果刚度变化足够小，则可以假定在变形过程中形状或材料属性没有任何变化。此假设是线性分析的基本原理。

这意味着，在整个变形过程中，所分析的模型将保持施加载荷前尚未变形时所具有的刚度。无论模型的变形程度如何、载荷是一次施加还是逐渐施加、对载荷的反抗应力有多大，模型都将保持最初的刚度。

此假设极大地简化了问题的公式表示和求解过程。回想一下 FEA 的基本方程式：

[F] = [K] * [d]

其中： [F] 是已知的节点载荷向量

[K] 是已知的刚度矩阵 [d] 是未知的节点位移向量

此矩阵方程式描述了 FEA 模型的状态。它包含大量的线性代数方程式，方程式的数量从数千到数百万不等，具体取决于模型大小。刚度矩阵 [K] 取决于几何形状、材料属性和约束。在线性分析假设下，模型的刚度永远不变，这些方程式只需组建并求解一次。当模型发生变形时，无需进行任何更新。因此，在线性分析中，从问题的公式表示到求解完成遵循的是一条直线道路。即使是非常庞大的模型，也只需要数秒钟或数分钟就能得到结果。

在非线性分析的世界中，任何事物都会发生变化，因为非线性分析要求工程师放弃刚度不变的假设，而是认为刚度在变形过程中会发生变化，并且在迭代求解过程中，刚度矩阵 [K] 必须随非线性解算器的进展而更新。这些迭代运算增加了获得准确结果所需的时间。

了解不同类型的非线性行为

尽管刚度变化的过程对于各类非线性分析都相同，但非线性行为的来源可能 不同。因此，按照造成非线性的主要来源对非线性分析进行分类是合理的。 由于在很多问题中无法指出造成非线性行为的单一原因，因此某些分析可能 必须解释多种非线性类型。

几何非线性

如前所述，当零件的刚度在操作条件下发生变化时，就需要采用非线性分析。如果刚度的变化只是由形状变化造成，则将该非线性行为定义为几何非线性。当零件产生肉眼可看到的较大变形时，就会发生此类由形状导致的刚度变化。一条广为接受的经验是，当变形大于零件最大尺寸的 1/20 时，应进行几何非线性分析。另一个需要注意的重要因素是，当发生较大的变形时，载荷方向会随着模型的变形而发生变化。大多数 FEA 程序会提供两种选择来解释此种方向变化：跟随载荷和非跟随载荷。

跟随载荷保持与变形后模型的相对方向，如图 2 所示。而非跟随载荷保持其最初的方向。

图 2：跟随载荷（或称非保守载荷）在变形过程中会改变其方向并与变形的横梁保持垂直（左图）。非跟随载荷（或称保守载荷）保持其原始方向（右图）。一条广为接受的经验是，当变形大于零件最 大尺寸的 1/20 时，应进行几何非线性分析。另一个需要注意的重要因素是，当发生较大 的变形时，载荷方向会随着模型的变形而发 生变化。

非线性

压力容器在高压条件下发生巨大的变形是后一种情况的典型示例。该压力载荷总是垂直施加于压力容器的器壁。尽管对此种情况的线性分析假定容器的形状没有改变，但实际对压力容器进行分析时，需要分析在非保守载荷（或称跟随载荷）下的几何非线性。

当变形很小时，也可能发生由于形状造成的刚度变化。一个典型的示例是，原本平坦的薄膜在压力的作用下发生弯曲（参见图 3）当变形很小时，也可能发生由于形状造成的刚

度变化。一个典型的示例是，原本平坦的薄膜

在压力的作用下发生弯曲。最初，薄膜仅以折弯刚度对抗压力载荷。当压力载荷造成一定的

曲率后，除原始折弯刚度外，变形的薄膜还会

图

3：尽管变形的幅度非常小，但压力载荷下的平面薄膜仍需要采用非线性几何分析。

最初，薄膜仅以折弯刚度对抗压力载荷。当压力载荷造成一定的曲率后，除原始折弯刚度外，变形的薄膜还会产生附加刚度（图 4）。变形会改变薄膜的刚度，这使变形后的薄膜具有比平面薄膜具有更大的刚度。有些 FEA 程序使用令人混淆的术语，将所有几何非线性分析统称为“大变形分析”。此说法忽略了对较小变形执行非线性分析的必要性。

图 4：平面薄膜对载荷仅作出折弯刚度效应。由于发生变形，因此还产生了薄膜刚度。因此，薄膜的刚度比线性分析预测的要大。

非线性材料

如果刚度的变化仅仅是由于材料属性在操作条件下的变化造成，则该问题属于材料非线性。线性材料模型假定应力与应变成比例（下面的图 5）。这意味着，其假定条件为施加的载荷越大，应力越大，并且变形将与载荷的变化成比例。它还假定不会产生永久的变形，一旦载荷消失，模型将总是恢复到其原始形状。

图 5产生附加刚度。

非线性

尽管这种简化是可以接受的，但是如果载荷高到足以导致某些永久变形（例如，大多数塑料所发生的变形），或者如果应变非常高（有时会 > 50%，例如橡胶和弹性体所发生的应变），则必须使用非线性材料模型。如果载荷高到足以导致某些永久变形（例如，大多数塑料所发生的变形），或者如果应变非

常高（有时会 > 50%，例如橡胶和弹性体所发生的应变），则必须使用非线性材料模型。由于不同种类材料在操作条件下的行为有很大的差异，FEA 程序开发了专门的技术和材料模型来模拟这些行为。下表简要介绍 …… 此处隐藏：6064字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……