泛函分析习题参考答案

一、设)

,(y x d 为空间

X 上的距离，试证：)

,(1)

,(),(~x y d x y d x y d +=

也是X 上的距离。 证明：显然

,0),(~≥y x d 并且y x y x d y x d =?=?=0),(0),(~

。

再者，

),(~)

,(1),(),(1),(),(~y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+=；

最后，由

t

t t +-

=+11

11的单调增加性及),(),(),(y z d z x d y x d +≤，可得 )

,(),(1),(),(),(1),(),(),(1),(),(),(1),(),(~y z d z x d y z d y z d z x d z x d y z d z x d y z d z x d y x d y x d y x d +++

++=+++≤+=

),(~),(~)

,(1)

,(),(1),(y z d z x d y z d y z d z x d z x d +=+++≤

。

二

、设

1p ≥，1()()(,,,)i n n p n x l ξξ=∈L L ，Λ

,2,1=n ，

1(,,,)p

i x l ξξ=∈L L ，则

n →∞时，

1()1(,)0p

p n n i i i d x x ξξ∞

=?

?=-→ ???

∑的充要条件为)1(n →∞时，()n i i ξξ→，1,2,i =L

；

)2(0ε?>，

存在

0N >，使得

()1

p

n i i N ξε∞

=+<∑

对任何自然数n 成立。

必要性证明：由1

()

1(,)0p

p

n n i i i d x x ξξ∞

=??=-→ ???

∑可知，()n i i ξξ→，1,2,i =L 。

由

1(,,,)p

i x l

ξξ=∈L L 可知，

ε?>，存在

10

N >，使得

11

()2

p

p

i i N εξ∞

=+<∑

，并且

1

n N >时，

()

1

()2

p n p i i i εξξ∞=-<∑。 由此可得，

11

111()

()1

1

1p p p

p

p p

n n p i i i i i N i N i N ξξξξε∞

∞∞=+=+=+?????? ?≤-+< ? ? ???????

∑

∑∑对1n N >成立。

对于

11,2,n N =L ，存在20N >，

2()1

p

n p

i i N ξε∞

=+<∑

。取

{}12max ,N N N =，则

()1

p

n p i

i N ξ

ε∞

=+<∑

对任何自然数n 成立。

充分性证明：由条件可知，

0ε?>，存在0K >，使得

()1

()2p n p

i

i K ε

ξ

∞

=+<∑

对任何自然数

n 成立，并且

1

()2

p

p i i K εξ∞

=+<∑

。

由

()n i

i ξ

ξ→可知，存在0>N ，使得N n >时，()1

K

p

n p i

i

i ξ

ξε=-<∑，并且

()()()1

1

1(,)K

p

p

p

p

n n n n i i

i i i i

i i i K d x x ξ

ξξ

ξξξ∞

∞

===+=-=-+

-∑∑∑

11()()1

11()()2p

K

p

p p n n p p p i i

i i i i K i K ξξξξε∞∞

==+=+??≤-++< ???

∑∑∑。

三、在],[b a L p )

1(≥p 上定义距离：

()

1

(,)()()b

p

p

a

d x y x t y t dt

=

-?

，则在此距离诱导的

极限意义下，

)(t x n 收敛于)(t x 的充要条件为)1()(t x n 依测度收敛于)(t x ；)2({})(t x n 在],[b a 上具有等度绝对连续的积分。

必要性证明：由

0),→x x n （ρ，可得0>?σ，?

?≥--≥

-)

()()(σx x E p

n E

p

n n dt x x dt t x t x

)((σσ≥-?≥x x E m n p ，Λ

,2,1=n ，令

∞→n ，可得0)((→≥-σx x E m n 。即)(t x n 依测度收敛于

)(t x 。

由

)(t x 的积分绝对连续性可知，对任何0>ε，存在01>δ，使得E e ?，1δ<me 时，?<

e

p

p

dt t x 2

))((1ε

。对上述

>ε，存在

0>N ，使得N n >时，

?<-E

p

p

n dt t x t x 2

)()(1ε

）（，

从而

ε

<+-≤+-≤?????p

e

p

p

E

p

n p

e

p p

e

p n p

e p n

dt x dt x x dt x dt x x dt t x

11111

)()()()())(，

即

ε

<?p

e

p

n

dt t x

1))(，对

Λ

,1,+=N N n ，成立。

对于

N n ,,2,1Λ=，易知存在02>δ，使E e ?，2δ<me 时，

（?<e

p

n dt t x ε)(）。

取

)

,m in(21δδδ=，则

E e ?，δ<me 时，ε

<?p

e

p

n dt t x 1))(，对每个自然数

n 成立。

即

{}

)(t x n 在

],[b a 上具有等度绝对连续的积分。

充分性证明：对任何

>ε，令

)()(εε≥-=x x E E n n ，则0)(→εn mE 。由此可知，对任何0>δ，存在0>N ，使得

N n >时，δε<)(n mE 。

令

)()(εε<-=x x E F n n ，则?

?

-+

-=

n

n

E F p

n p

n n p dt x x dt x x x x ),(ρ。此时，

p

E p

p E p E p n p n n n n dt x dt x dt x x ??????

?????+≤-1

1)()(，

p F p

n a b dt x x n

ε?-<-?

)(。