2.2.1《直接证明与间接证明-综合法和分析法》课件(人教B版选修2-

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2.2.1

综合法和分析法

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一、复习

推 理合情推理归纳 类比

演绎推理三段论

(特殊到一般) (特殊到特殊) (一般到特殊)

数学结论、证明思路的发现,主要靠 合情推理.演绎推理是从一般性原理出发 推出某个特殊情况下的结论。结论的正确 性需要证明。

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例:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc2+c2 因为 b 证明:≥2bc,a>0

所以a(b2+c2)≥2abc.又因为c2+b2≥2bc,b>0

所以b(c2+a2)≥ 2abc.因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.例:.已知a、b、c为不全相等的正数， b+c-a c+a-b a+b-c 求证： + + > 3. a b c

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利用已知条件和某些数学定义、公理、 定理等,经过一系列的推理论证,最后推导 出所要证明的结论成立,这种证明方法叫 做综合法

特点:“由因导果”用P表示已知条件、已有的定义、公理、 定理等,Q表示所要证明的结论. 则综合法用框图表示为:P Q1Q1 Q 2Q2 Q3

…

Qn Q

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练习：在△ABC中，三个内角A、B、 C对应的边分别为a、b、c,且A、B、 C成等差数列，a、b、c成等比数列，求 证△ABC为等边三角形.

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a+b 回顾基本不等式： 2

ab

(a>0,b>0)的证明.证明: 因为;( a b ) 02

a+b ab 证明:要证; 2 只需证;a + b 2 ab

所以 a + b 2 ab 0 所以 a + b 2 aba+b ab 成立 所以 2

只需证;a + b 2 ab 02 ( a b ) 0 只需证;

因为;( a b )2 0 成立

a+b 所以 2

ab成立

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一般地，从要证明的结论出发，逐步 寻求推证过程中，使每一步结论成立的充 分条件，直至最后，把要证明的结论归结 为判定一个明显成立的条件(已知条件、 定理、定义、公理等)为止，这种证明的 方法叫做分析法.

特点：执果索因.用框图表示分析法的思考过程、特点.Q P1P1 P2

P2 P3

…

得到一个明显 成立的结论

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例1:求证： 3 + 7 2 5

练习:设a,b,c为一个三角形的 1 2 三边,且s =2ab, s = 2(a + b + c),

试证：s<2a

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例:如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB 的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足 S 为F,求证 AF⊥SC证明:要证AF⊥SC 只需证:SC⊥平面AEF 只需证:AE⊥SC 只需证:AE⊥平面SBC 只需证:AE⊥BC 只需证:BC⊥平面SAB 只需证:BC⊥SA 只需证:SA⊥平面ABCF E

AB

C

因为:SA⊥平面ABC成立 所以. AF⊥SC成立

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思考题:甲、乙、丙三箱共有小球384个,先 由甲箱取出若干放进乙、丙两箱内,所放个 数分别为乙、丙箱内原有个数,继而由乙箱 取出若干个球放进甲、丙两箱内,最后由丙 箱取出若干个球放进甲、乙两箱内,方法同 前.结果三箱内的小球数恰好相等.求甲、 乙、丙三箱原有小球数 甲:208个,乙:112个,丙:64个