2018版高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式：√ab≤(a+b)2(一

3.4 基本不等式：√ab ≤（a+b ）2（一）

[学习目标] 1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式．

知识点一 重要不等式及证明

如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“＝”)．请证明此结论． 证明 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，

∴a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取“＝”．

知识点二 基本不等式

1．内容： ab ≤a ＋b 2，其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时，等号成立．

2．证明：

∵a ＋b －2ab ＝(a )2＋(b )2－2a ·b

＝(a －b )2≥0.

∴a ＋b ≥2ab . ∴ab ≤a ＋b 2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．

3．两种理解：

(1)算术平均数与几何平均数：

设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

(2)几何意义：

如图所示，以长度为a ＋b 的线段AB 为直径作圆，在直径AB 上取一点C ，

使AC ＝a ，CB ＝b ，过点C 作垂直于直径AB 的弦DD ′，连接AD ，DB ，易

证Rt △ACD ∽ Rt △DCB ，则CD 2＝CA ·CB ，即CD ＝ab .

这个圆的半径为a ＋b

2，显然它大于或等于CD ，即a ＋b

2≥ab ，当且仅当点C 与圆心O 重合，

即a ＝b 时，等号成立．

知识点三 基本不等式的常用推论

2 (1)ab ≤? ??

??a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )； (2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；

(3)当ab >0时，b a ＋a b ≥2；当ab <0时，b a ＋a b

≤－2；

(4)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )．

题型一 利用基本不等式比较大小

例1 设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( )

A ．a <b <ab <a ＋b 2

B ．a <ab <a ＋b 2<b

C ．a <ab <b <

a ＋

b 2 D.ab <a <a ＋b 2<b

答案 B 解析 方法一 ∵0<a <b ，∴a <

a ＋

b 2<b ，排除A ，C 两项．又ab －a ＝a (b －a )>0，即ab >a ，

排除D 项，故选B. 方法二 取a ＝2，b ＝8，则ab ＝4，a ＋b 2＝5，所以a ＜ab ＜a ＋b 2＜b .

反思与感悟 若给定的代数式中既有“和式”又有“积式”，这便是应用基本不等式的题眼，可考虑是否利用基本不等式解决；在应用基本不等式时一定要注意是否满足条件，即a ＞0，b ＞0，同时注意能否取等号．

跟踪训练1 若a ，b ∈R ，且ab ＞0，则下列不等式中，恒成立的是( )

A ．a 2＋b 2＞2ab

B ．a ＋b ≥2ab

C.1a ＋1b ＞2ab

D.b a ＋a b

≥2 答案 D

解析 对于A ，应该为a 2＋b 2

≥2ab ，漏等号，故A 错误；对于B ，当a ＜0，b ＜0时，ab ＞0，但a ＋b ＜2ab ，故B 不成立；对于C ，当a ＜0，b ＜0时，ab ＞0，故C 不成立；对于D ，∵ab ＞0，则b a ＞0且a b ＞0，∴b a ＋a b

≥2b a ·a b ＝2.当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b 时，取“＝”，故D 正确．

题型二 用基本不等式证明不等式

3 例2 已知a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：1a ＋1b ＋1c

≥9. 证明 1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c

＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c

)

≥3＋2＋2＋2＝9.

当且仅当a ＝b ＝c ＝13

时，等号成立． 反思与感悟 在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式．

跟踪训练2 已知a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，

证明：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc .

证明 (1－a )(1－b )(1－c )＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )

≥2bc ·2ac ·2ab ＝8abc .

当且仅当b ＝c ＝a ＝13时，等号成立．

1．若0＜a ＜1，0＜b ＜1，且a ≠b ，则a ＋b ，2ab ，2ab ，a 2＋b 2中最大的一个是( )

A ．a 2＋b 2

B ．2ab

C ．2ab

D ．a ＋b

答案 D

解析 ∵0＜a ＜1，0＜b ＜1，a ≠b ，

∴a ＋b ＞2ab ，a 2＋b 2＞2ab .

∴四个数中最大的应从a ＋b ，a 2＋b 2中选择．

而a 2＋b 2－(a ＋b )＝a (a －1)＋b (b －1)．

又∵0＜a ＜1，0＜b ＜1，∴a (a －1)＜0，b (b －1)＜0，

∴a 2＋b 2－(a ＋b )＜0，即a 2＋b 2＜a ＋b ，

∴a ＋b 最大．故选D.

2．设a ，b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( )

A ．6

B ．4 2

C ．2 6

D ．8

答案 B

4 解析 ∵a ＋b ＝3，

∴2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22

a ＋

b ＝28＝4 2. 3．不等式a 2＋4≥4a 中，等号成立的条件为________．

答案 a ＝2

解析 令a 2＋4＝4a ，则a 2－4a ＋4＝0，

∴a ＝2.

4．若a ＞b ＞1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2

，则它们的大小关系是________．

答案 R ＞Q ＞P

解析 ∵a ＞b ＞1，∴lg a ＞lg b ＞0，∴Q ＞P ，

又Q ＝12(lg a ＋lg b )＝12lg ab ＝lg ab ＜lg a ＋b 2

＝R ， ∴R ＞Q ＞P

.

1．两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b 2≥ab 前者a ，b ∈R ，后者a ，b ∈R ＋

；另外它们都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a ＝b 时，a ＋b 2＝ab ；另一方面：当a ＋b 2＝ab 时，也有a ＝b .

2．在应用基本不等式比较大小或证明不等式时，要熟练运用基本不等式的几类变形，同时注意等号成立的条件．