信号与系统(郑君里第二版)讲义第三章 傅里叶变换

最经典最好的讲义——与对应原书《信号与系统》郑君里著第二版

第三章 傅里叶变换

江禹生

3.1 周期信号的频谱分析

一、正交函数与正交函数集

1、函数正交

如果两个函数f1(t)、f2(t)在区间（t1，t2）满足∫f1(t)f2(t)dt=0，则称f1(t)

t1t2

和f2(t)在（t1，t2）内正交。

2、正交函数集

假设有n个函数g1(t)，g2(t)，L，gn(t)构成一个函数集，这些函数在区间（t1，t2）内满足如下正交特性：

t2g(t)g(t)dt=0i≠j

j ∫t1i

，Ki为一常数。 t22

∫tgi(t)dt=Ki 1

则函数集称为正交函数集。也称g1(t)，g2(t)，L，gn(t)构成一个n维的正交信号空间。

当Ki=1时，称为归一化正交函数集。

任一函数f(t)在区间（t1，t2）内，可以用组成信号空间的n个正交函数的线性组合来近似地表示为：

f(t)≈c1g1(t)+c2g2(t)+L+crgr(t)+L+cngn(t)=∑crgr(t)

r=1n

完备正交函数集：

如果在正交函数g1(t)，g2(t)，L，gn(t)之外，不存在函数x(t)

（0<∫x2(t)dt<∞），满足等式∫x(t)gi(t)dt=0（i为任意正整数），则称此

t1

t1

t2

t2

函数集为完备正交函数集。

一般说，完备正交函数集中将包含有无限多个相互正交的函数。 这样f(t)=c1g1(t)+c2g2(t)+L+crgr(t)+L 3、复变函数的正交特性

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设f1(t)和f2(t)是实变量t的复变函数，两个函数f1(t)和f2(t)在区间（t1，t2）内相互正交的条件是：

∫

t2

t1

f1(t)f2 (t)dt=∫f1 (t)f2(t)dt=0

t1

t2

复变函数正交函数集：

如果在区间（t1，t2）内，复变函数集g1(t)，g2(t)，L，gn(t)满足如下关系式：

t2g(t)g (t)dt=0

j ∫t1i

t2

∫tgi(t)gi(t)dt=Ki 1

i≠j

则称此复变函数集为正交函数集。

对于一个完备的正交复变函数集，任意（实或复）函数f(t)在区间（t1，t2）可以表示为：

f(t)=c1g1(t)+c2g2(t)+L+crgr(t)+L 4、两个常用的完备正交函数集 （1）三角函数集 三角函数集

{1,cosω1t,cos2ω1t,L,cosnω1t,L,sinω1t,sin2ω1t,L,sinnω1t,L}在区间

(t0,t0+T1)组成完备的正交函数集。ω1=2π

T1

这是因为它在区间(t0,t0+T1)内满足：

0

t0+T1 T1∫t0cos(mω1t)cos(nω1t)dt= 2

T1

m≠nm=n≠0 m=n=0

∫

∫

t0+T1

t0

0 T

sin(mω1t)sin(nω1t)dt= 1

2

m≠nm=n≠0

t0+T1

t0

sin(mω1t)cos(nω1t)dt=0，对于所有的m和n

（2）虚指数函数集

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jnωt

虚指数函数集e1

{}(n=0,±1,±2,L)在区间(t,t

+T1)组成完备的正交函数

集。

这是因为它在区间(t0,t0+T1)内满足二、三角函数形式的傅里叶级数

1、三角函数形式的傅里叶级数的第一种形式（基本形式） 设周期信号为f(t)，周期为T1，角频率为ω1=时，它可以展开成三角函数形式的傅里叶级数：

f(t)=a0+∑ ancos(nω1t)+bnsin(nω1t)

n=1∞

∫

t0+T1

t0

e

jmω1t

(e)

jnω1t

0

dt=

T1

m≠nm=n

1

，当满足“狄利克雷条件”T1

根据三角函数集的正交特性得： 1t0+T1

a0=∫f(t)dt t0

T1

2t0+T1a=f(t)cos(nω1t)dt n∫t0T1 2t0+T1b=f(t)sin(nω1t)dt n∫t0T1

n=1,2,3,L n=1,2,3,L

a0，an，bn称为傅里叶系数，它们是n或nω1的函数。 注意：

（1）a0是f(t)在区间（t0，t0+T1）内的平均值，亦即直流分量。an为余弦分量的幅度，bn为正弦分量的幅度。

（2）当n为1时，a1cos(ω1t)和b1sin(ω1t)合成一角频率为ω1=量，称为基波分量，ω1称为基波频率。

当n大于1时，ancos(nωnt)和bnsin(nωnt)合成一角频率为nωn的正弦分量，称为n次谐波分量，nω1称为n次谐波频率。

（3）任何周期信号只要满足“狄利克雷条件”，就可以用一直流分量和一系列谐波分量之和来表示。

2、三角函数形式傅里叶级数的另外两种形式

1

的正弦分T1

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（1）f(t)=c0+∑cncos(nω1t+ n)

n=1

∞

c0=a0 22 cn=an+bn bn = arctan n

an

∞

n=1,2,3,L n=1,2,3,L

（2）f(t)=d0+∑dnsin(nω1t+θn)

n=1

d0=a0 22 dn=an+bn anθ=arctan n

bn

n=1,2,3,L n=1,2,3,L

三、虚指数形式的傅里叶级数

任何周期信号f(t)可以分解为

f(t)=

n= ∞

∑Fe

n

∞

jnω1t

傅里叶系数：

Fn=

1t0+T1 jnω1t

ftedt n=0,±1,±2,L ()∫t0T1

Fn是第n次谐波分量的复数振幅。

jnωt

虚指数形式的傅里叶级数可由虚指数函数集e1的正交特性，周期信号

{}

f(t)直接展开而成，或者由三角函数形式的傅里叶级数间接导出。

Fn与其它系数有如下关系：

F0=c0=d0=a0

Fn=Fnej n=

1

(an jbn) 21

F n=F ne j n=(an+

jbn)

2

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Fn+F n=cn Fn+F n=an

bn=j(Fn F n)

22cn=dn2=an+bn2=4FnF n

注意：

（1）三角函数形式的傅里叶级数和虚指数形式的傅里叶级数虽然形式不同，但实际上它们是属于同一性质的级数，即都是将一个周期信号表示为直流分量和谐波分量之和。

（2）在虚指数形式的级数中，虽然因引用 n而出现了 nω1，但这并不表示存在着什么负频率，而只是将第n次谐波的正弦分量分写成了两个虚指数项后出现的一种数学形式。 四、傅里叶级数的主要性质

FS

→Fn 若 f(t)← FS

→F n 则 f (t)←

FS

f( t)← →F n FSf(t)cos(ω1t)← →

1

(Fn 1+Fn+1) 2

FS

f(t)sin(ω1t)← →

1

(Fn 1 Fn+1) 2j

k

f(

k)

FS

→(jnω1)(t)←

Fn

FS

f(t t0)← →Fne jnω1t0

五、函数的对称性与傅里叶系数的关系

1、偶函数

若信号波形相对于纵轴是对称的，即满足f(t)=f( t)，此时f(t)是偶函数。

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f(t)

E

T 1

2

T12

t

偶函数的傅里叶级数展开式的系数为：

4an=

T1

bn=0

∫f(t)cos(nωt)dt

1

T120

Fn=

an

， n=0 2

偶函数的Fn为实数。在偶函数的傅里叶级数中不会含有正弦项，只可能含有直流项和余弦项。

2、奇函数

若信号波形相对于纵坐标是反对称的，即满足f(t)= f( t)，此时f(t)是奇函数。

f(t)

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