1.1_定积分的背景——面积和路程问题(修改版1)

第四章 定积分§1 定积分的概念1.1 定积分的背景——面积和路程问题

以上由曲线围成的图形的面积该怎样计算？

古希腊的数学家，从圆内接正多边形和外 切正多边形同时入手，不断增加它们的边数， 从里外两个方面去逼近圆面积。

y 曲边梯形的定义y f ( x)

o 称这样的平面图形为曲边梯形.

a

b x

图中阴影部分是由曲线段和直线段围成的，通常

由直线 x = a,x =b (a≠b), y = 0和曲线y = f (x) 所围成的图形

图中阴影部分是由抛物线 y x 2 ,直线 x 1 以及 x 轴所围成的平面图形，试估计这个曲边梯形 问题1 的面积 S .yy x2

o

1

x

分析 首先，将区间[0,1]5等分，如图所示. y

o

S1(1)

1

x

图 (1) 中，所有小矩形的面积之和(记为S1)显 然大于所求的曲边梯形的面积，我们称S1为S的过剩 估计值，有

S1 (0.22 0.42 0.62 0.82 12 ) 0.2 0.44

图 (2) 中，所有阴影小矩形的面积之和(记为s1) 显然小于所求曲边梯形的面积，我们称s1为S的不足 估计值，有

s1 (0 0.2 0.4 0.6 0.8 ) 0.2 0.24 .2 2 2 2 2

y

o

s1(2)

1

x

思考：我们可以用S1或s1近似表示S,但是都存在 误差，误差有多大呢？

提示：二者之差为S1-s1=0.2如图(3)中阴影所示，无论用S1还是用s1来表示曲边 梯形的面积，误差都不会超过0.2. y

o

1

(3)

x

为了减小误差，我们将区间[0,1] 10等分，则 所求面积的过剩估计值为S 2 (0.12 0.2 2 12 ) 0.1 0.385 .

不足估计值为s2 (02 0.12 0.22 0.92 ) 0.1 0.285.

y

二者的差值为S2-s2=0.1,此时，无论用 S2还是用s2来表示S,误差都不超过0.1.(4)

o

1

结论：区间分得越细，误差越 小.当被分割成的小区间的长度 趋于0时，过剩估计值和不足估 x 计值都会趋于曲边梯形的面积.

通过下面的演示我们如何做到使误差小于0.01.

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练一练：

求曲线y=x3与直线x=1,y=0所围成的平面图 形的面积的估计值，并写出估计误差.(把区间 [0,1] 5等分来估计)

解析 把区间 [0,1] 5等分，以每一个小区间左右端点的函数值作为小矩形的高，得到不足

估计值

s1 和过剩估计值 S1 ,如下：

s1 (03 0.23 0.43 0.63 0.83 ) 0.2 0.16S1 (0.23 0.43 0.63 0.83 13 ) 0.2 0.36

估计误差不会超过 S1 - s1 =0.2

探究点3

估计变速运动的路程

已知匀速运动物体的速度v和运动的时间t, 我们可以求出它走过的路程s=vt,那么如何求非 匀速运动的物体走过的路程呢？

问题2 想象这样一个场景：一辆汽车的司机猛踩刹车， 汽车滑行5s后停下，在这一过程中，汽车的速度 v (单位：m/s)是时间 t

的函数：v(t ) t 2 10t 25 (0 t 5)

请估计汽车在刹车过程中滑行的距离 s .

分析：由已知，汽车在刚开始刹车时的速度是 v(0)=25m/s,我们可以用这个速度来近似替代汽车在 这段时间内的平均速度，求出汽车的滑行距离： s=25×5=125(m) 但显然，这样的误差太大了. 为了提高精确度，我们可以采用分割滑行时间的方法 来估计滑行距离. 首先，将滑行的时间5s平均分成5份. 我们分别用v(0),v(1),v(2),v(3),v(4) 近似替代汽 车在0~1s、1~2s、2~3s、3~4s、4~5s内的平均速 度，求出滑行距离s1:

s1 v(0) v(1) v( 2) v( 3) v(4) 1 55( m)

由于v是下降的，所以显然s1大于s,我们称它为汽 车在5 s内滑行距离的过剩估计值. 用v(1),v(2),v(3),v(4),v(5)分别近似替代汽车 在0~1s、1~2s、2~3s、3~4s、4~5s内的平均速 度，求出汽车在5s内滑行距离的不足估计值 s1 : v(1) v( 2) v(3) v(4) v(5) 1 30( m) s1

不论用过剩估计值s1还是不足估计值 误差都不超过：

表示s, s1

25( m) s1 s1要对区间多少等分时，才能保证估计误差小于0.1?