第5章 二叉树模型与美式期权的风险管理

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金融风险理论与模型第5章 二叉树模型与美式期权的 风险管理

Copyright©Linhui, Department of Finance, Nanjing University

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5.1 概述 二叉树期权定价(Binomial option Pricing Model)由Cox,Ross,Rubinstein等人提出 为期权定价模型为B-S模型提供一种比较简 单和直观的方法 二叉树模型已经成为建立复杂期权(美式 期权和奇异期权)定价模型的基本手段 对于所有不能给出解析式的期权，都可以 通过二叉树模型给出。2

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A Simple Binomial Model A stock price is currently $20 In three months it will be either $22 or $18

Stock Price = $22 Stock price = $20 Stock Price = $18

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A 3-month call option on the stock has a strike price of 21.Stock Price = $22 Option Price = $1 Stock price = $20 Option Price=? Stock Price = $18 Option Price = $0

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Setting Up a Riskless Portfolio Consider the Portfolio: long D shares short 1 call option22 D – 1

18D

Portfolio is riskless when 22D – 1 = 18D or D = 0.25D股股票-1份期权=无风险证券→1份期权= D股股 票-无风险证券

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5.2 单期二叉树期权定价模型 考虑一个买权在当前时刻t,下期t=T到期，中间 只有1期，τ=T-t 假设该买权的标的股票是1个服从二项分布的随机 变量。当前股票价格为st=S是已知的，到期股票价 格为sT,且满足

sT s uS S , u 1, P(sT s ) qu u

sT s dS S , d 1, P(sT s ) 1 qd d

其中，u为上涨因子，d为下跌因子6

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q st 1-q

sT=su=uS sT=sd=dS

问题：如何确定该期权在当前时刻t的价值ct?

设想：构造如下投资组合，以无风险利率r借入资金B (相当于无风险债券空头),并且在股票市场上购入 N股股票(股票多头)。 目的：在买权到期日，上述投资组合的价值特征与买 权完全相同。7

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在当前时刻t,已知股票的价格为s,构造上述组合的成本 为

Nst B NS B 在到期时刻T,若希望该组合的价值v与买权的价值完全 相同则必须满足

v Ns Be cu u

r

u

且 v Ns Be cd d

r

d

由上两式得到

N (cu c d ) /( s u s d ) (cu c d ) /[(u d ) S ] B ( s d cu s u c d ) /[( s u s d )e r ] ( Ns d c d ) / e r (dcu uc d ) /[(u d )er ]8

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由此得到的组合 NS B称为合成期权(synthetic option), 由无套利定价原则，在当前时刻t买权的价值为

ct NS B c c dc uc c c dc e uc e S r (u d ) S (u d )e u du d u d u d u r d r r u r d r

c (1 de ) c (ue 1) e d u r (u e ) d r ce ce u d u d u d r r e d u r e d d r u d r c e (1 )c e [ pc (1 p)c ]e u d u de r d

here,p u d

r

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例子 假设有1个股票买权合约，到期日为1年，执行价格为112 美元，股票当前的价格为100美元，无风险利率为8% (连续复利折算为单利)。在到期日股票的价格有两种 可能：180美元或者60美元，求期权的价值？

sT=su=us=180

st ct?

q 1-q

cT=cu=max(0, Su-112)=68

sT=sd=ds=60cT=cd=max(0, Sd-112)=010

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N (c c )/( s s ) (68 0)/(180 60) 0.57( ) 股 u d u d

B (Ns c )/ed d

r

(0.57 0)/1.08 31.48( ) 元 60

e d e s s 1.08 100 60 p u d u d s s 180 - 60d

r

r

0.4

ct [ pc (1 p)c ]eu d

r

25.18( 美元)11

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Dicussion: Risk-neutral probability1. p is Risk-neutral probability for all securities 。 stock’s expected relative return is

psu (1 p) s d er d er d r ys u (1 ) e S u d u dOption’s expected relative return is

yc [ pc (1 p)c ]/ c0 e ysu d

r

So,p is a variable which make riskful stock and call option’s expected return are both only riskless interest rate. For the above reason, We call p “risk neutral probability”.12

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Dicussion: Risk-neutral probability2. 在风险中性世界中，主观概率q没有出现。 虽然个人对q的信念是不同的，但是在期权的定价过 程中并没有涉及到q,也就是人们对q认识的分歧并 不影响对期权的定价结果。 投资者最终都一致风险中性概率p,它只取决于r,u, d这三个客观因子。

e d r e d d r ct e (1 )c e u d u d [ pcu (1 p)c d ]e r 13

r

r

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Dicussion: Risk-neutral probability 风险中性世界，不必考虑风险，这等价于假设投资者是风 险中性的。 若在期初构造如下组合：以S的价格买入N股股票，同时 以c的价格卖出1个期权，则该组合的投资成本为NS-c必 然等于B。 若sT=su

v [(c c ) /(s s )]s c Beu u d u d u u

r

若sT=Sd

v [(c c ) /(s s )]s c Bed u d u d d d

r

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投资者虽然投资于有风险的股票和期权，但是由 二者构成的组合NS-c,即相当于投资1个无风险 的证券。 组合贴现率的贴现率只能是无风险利率 由于是无风险证券，对于理性投资者，不论其偏 好如何，其风险态度对于这样的组合是无关紧要。 只要考虑收益的大小即可，由此大大简化资产的 定价。 基于上述的理由，只要以上述方式构建投资组合 来对期权定价，就等价于假设投资者是风险中性 的，既然是风险中性的，则对这样的组合定价就 不必考虑风险问题。15

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5.3 两阶段二叉树定价模型 由于标的资产市场价格是1个连续(接近连续)的随机变 量，不可能只有2种情形，因

此可以考虑将时间T-t分为多 段处理，首先介绍两阶段模型。

两阶段模型(Two-step binomial tree) 若把从 …… 此处隐藏：2171字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……