地心坐标反解大地坐标的非线性方程组牛顿迭代法分析

第34卷第6期

2009

年11月

测绘科学

ScienceofSurveyingandMapping

Vol134No16

Nov1

地心坐标反解大地坐标的非线性方程组牛顿迭代法分析

李　琦,王小辉

(中国矿业大学/江苏省资源环境信息工程重点实验室,江苏徐州　221008)

【摘　要】目前的一些地心坐标向大地坐标的转换模型在计算速度,稳定性或精度方面存在一定的局限性。本文

探讨了非线性方程组数值迭代的求解方法及其在MATLAB710中的编程实现,并将结果与基于一元三次方程求解的严密方法做了比较分析,结果证明该方法是可以在实际中参考应用的。【关键词】地心坐标;大地坐标;非线性方程组【中图分类号】P22　　　　【文献标识码】A　　　　【】2)0046202

1　引言

,泛应用,。,其转换方法大体上分为两类:①直接法:如根据各种几何关系组成一元三次或四次方程的方法,利用封闭计算公式等;②数值迭代方法:目前大多数迭代模型都是首先基于单个量大地纬度B的迭代模型,而且其中有些模型并不是严密公式。

目前的一些大地坐标转换模型在应用范围、计算速度及稳定性等方面存在着一定的局限性,如在地球内部、低纬度地区、地心或地极附近不能有效地进行坐标变换甚至出现结果错误或不收敛的情况[1]。

牛顿迭代法是最经典也是最基本的迭代方法,其他许多迭代方法都是以此为基础的。比如测量数据处理中所用的迭代方法大多都是牛顿迭代方法的变形,它们以差商或常数代替导数,如常用的割线法和简化的牛顿迭代法。数值分析中已经证明这类方法的收敛速度都是线性的,而真正的牛顿迭代法却具有二阶收敛性。同时,对于牛顿迭代法,迭代初值必须充分靠近其根,否则也可能出现不收敛或收敛于虚假值的情况,但此时我们可以用牛顿迭代法的优化程序,即通过调整导数前面的因子ω,(0<ω<1)使其大范围收敛。

(B,:

(3)(xk)]-1u(xk)xk+1=xk-[u′

将公式(2)中的各个量代入(3),得迭代变量xk=

L2L5L

B2B5B

H2

(xk)=u(xk)=u2(L,B,H)-,u′

H

u3(L,B,H)-5(4)

-1

(xk)的求法可通过解方程组或直接求逆的方关于u′

法,也可以用度量矩阵及旋转矩阵的性质求得[2]。此外,我们还可利用MALAB的符号计算功能解决。一般的大地测量教程都有其逆阵,现不加证明地给出:

(N+H)cosB(N+H)cosB

(xk)-1=u′u1(L,B,H)-M+H

cosBcosL

M+HsinLcosB

M+sinB

,2　利用牛顿迭代法求大地坐标的过程

:

(N+H)cosBcosL=(N+H)cosBsinL

2

N(1-e)+sin若已知

,可将公式(1)变形为u1(L,B,H)-X=u2(L,B,H)-Y=u3(L,B,H)-Z=(5)

3　算例

计算中的迭代初值及字符代表的含义说明如下:

(1)

大地纬度的迭代初值B=atan大地经度的迭代初值L=atan2

+Y)。X

2

2

2

)。

大地高的迭代初值H=

(2)

-N。

cosB

椭球辅助参数W

2

2

=

1-esinB。

卯酉圈曲率半径N=。W

作者简介:李琦(19802),男,山东莱芜人,中国矿业大学06级在读硕士研究生,主要从事测量数据处理和GIS的应用研究。E2mail:llqq2007abc@1631com收稿日期:2008205204

子午圈曲率半径M=

2

()

。3

W

JI—(5)式所表示的矩阵。

U—(4)式左边的矩阵。算法的流程图表示为:

图1　非线行牛顿迭代

法流程图

　第6期　　　　　　　　　　　　李　琦等　地心坐标反解大地坐标的非线性方程组牛顿迭代法分析实验数据[3](角度单位均为度,空间直角坐标坐标单位为米,椭球参数为我国1980西安坐标系参数a=

)6378140m,e=01006694385。

2

47

表1　转换结果比较

初始大地坐标

L

B

H

X

地心坐标

Y

Z

L

本法反算结果

B

H

1

2345678401045105010551060106510701075100100101020103010401050106010701050001060001070001080001090001010000101100010120001048897681927044461351151038582791311031748531090024498021153017387751739010953551796056733918685410300313034446135115145981181230453416011124243181179837288161605300946513162117341121401000000001101290194921700911938317437512134083772156248704511752551000519935982319111039199999451000004919999954199999601000006419999970100000741999990100000101000001919999930100000391999994619999960100000701000005000100035999199947000100048000100018999199961000010002110001008211999199964　结束语

1)01但B和L-度,大地高H优于10-3m,。

2)在稳定性方面,除在两个极点外,迭代过程均收敛,而Fukushima的迭代方法,在B<0138047°的区域

,如高斯坐标

。

参考文献

[1][2][3]

内得到的解都是错误的[4]。

3)在速度方面,单点转换迭代次数一般不超过3次,这已好于4～6次的迭代,在作者使用的一普通配置机子上耗时为0102s～0103s。

4)普通迭代方法一般是先求出大地纬度B,进而再求出H,若B的精度不高则势必影响H的精度;而本文给出的方法收敛速度快,公式严密,解决了目前大地高程计算的不惟一性。由于停机条件是限制x=[LBH]这一向量的无穷大范数,从而从整体上提高了转换的精度。

o

5)在极点B=±90处,迭代初值B中出现零作除数的情况,但此时L与H也可直接求得,可加入一条件判断语句排除该情况。

[4]

[5][6]

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朱华统1大地坐标系的建立[M]1北京:测绘出版社,19861

李少元,高北晨,陈志辉1基于一元三次方程求解的地心坐标至大地坐标的严密变换[J]1石家庄铁道学院学报,2006,19(3)1

李延兴,张静华,张俊青1一种由地心直角坐标到大地坐标的直接转换[J]1大地测量与地球动力学,2007,27(2)1

党亚民,陈俊勇1国际大地测量参考框架技术进展[J]1测绘科学,2008,33(1)1

曹德欣,曹璎珞1计算方法[M]1徐州:中国矿业大学出版社119981

TheanalysisofconversionfromgeocentrictogeodeticcoordinateswithNewtoniterationtosolvenon2linearequationsAbstract:Atpresent,thereiscertainlocalizationinsomeformulaeoftransformationfromgeocentriccoordinatestogeodeticcoor2dinates,suchasrateofcalculation,stability,orprecision1ThispaperputsforwardanewmethodbasedonNewtoniterationofnonlin2earequationsandgivespartofprograminMATLAB7101Theexperimentalresultshowsthatthismethodispracticalbyanalysisandcomparisonwithrigorousconversionbasedonthesolutiontounivariatecubicequation1

Keywords:geocentriccoordinates;geodeticcoordinates;nonlinearequationsLIQi,WANGXiao2hui(EnvironmentandSpatialInformaticsInstituteoftheChinaUniversityofMiningandTechnology,Xuzhou221008,China)

(上接第119页)

Subsidencemonitoringandanalysisofhigh2riseresidentialbuilding

Abstract:Severalfactors,suchasthedesignoftechnicalscheme,monitoringaccuracy,theerroroftheweakestpoint,monito2ringdataprocessing,werediscusse …… 此处隐藏：2902字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……