闭区间套定理的应用及推论

来源：网络收集时间：2026-08-28

导读：闭区间套定理的应用及推论,hao 区间套定理:若{[an ,bn ]}是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[an ,bn ]，n=1,2,3，…，即an≤ξ≤bn , n=1,2an和bn会收敛于一个数这是很容易就可以得到的——因为an单调有上界，bn单调有下界，而他们的差的

闭区间套定理的应用及推论,hao

区间套定理:若{[an ,bn ]}是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[an ,bn ]，n=1,2,3，…，即an≤ξ≤bn , n=1,2an和bn会收敛于一个数这是很容易就可以得到的——因为an单调有上界，bn单调有下界，而他们的差的极限为零，从而他们极限相等。

重要的是这个极限（设它为t）是所有区间的唯一公共点。唯一性也可以由极限的唯一性得到，剩下的就是它是所有区间的公共点了。

用反证法。

我们先构造一个开区间集，它能覆盖【a0，b0】：对某一x属于【a0，b0】，它若不属于某一个子区间【an0，bn0】，从而当n>n0，有x亦不会属于【an，bn】，从而就存在x的某一个邻域Ex，它与所有n>n0的【an，bn】的交集为空（这里n>n0，而n0的取值跟x的取值有关）。假设这些子区间没有公共点，即所有的x属于【a0，b0】都有这样的结论了，那么所有属于[a0，b0]的x都可以有这样的邻域，所有的邻域放在一起就成为了[a0，b0]的一个开覆盖，按有限覆盖定理，那这些无限个邻域中存在[a0，b0]的有限覆盖，既然是有限个，那就是有有限个x，那与x有关的n0也就只有有限个了，取在这有限个n0的最大值nm，那当n>nm时，[an，bn]就会与这有限个开区间的交集都为空，而那些开区间是整个[a0，b0]的覆盖，当然会覆盖【an，bn】，矛盾，这就说明并不是所有的x都不属于某一个子区间【an0，bn0】，这些所有的子区间是有公共点的（设为s）。

接着就证明这个点就是t就行了：利用夹逼定理，an<s<bn,对所有的n都成立，自然就是s=t了。

,3，…

闭区间套定理的应用及推论

【摘要】介绍闭区间套定理及其证明方法，给出开区间套定理的正确表述，近一步讨论区间套定理在证题中的应用。

【关键词】闭区间套；开区间套；应用

【中图分类号】O172【文献标识码】A【文章编号】1001-4128(2011)02-0171-03 作者简介：孙雪梅,副教授。

1 闭区间套定理

在实数连续性的描述中，闭区间套定理是数学分析的一个基本定理。

定义1：设｛[an,bn]｝(n1)是R中的闭区间，如果满足：

（1）[an+1,bn+1][an,bn] (n1)；

（2）limn→∞(bn-an)=0

则｛[an,bn]｝叫做R中的一个闭区间套

定理1：（闭区间套定理）设有闭区间列｛[an,bn]｝，若：

（1）[a1,b1][a2,b2]L[an,bn]L

（2）limn→∞(bn-an)=0，

则存在唯一实数属于所有闭区间（即I∞n=1[an,bn]=L且

limn→∞an=limn→∞bn=L

证一：应用公理证明闭区间套定理

证明：由条件1）数列{an}单调增加有上界b1，数列{an}单调减少有下界a1，即：

闭区间套定理的应用及推论,hao

a1a2LanLbnLb2b1根据公理，数列{an}收敛，设

limn→∞an=L由条件2）有

limn→∞b=limn→∞(bn-an+an)=limn→∞(bn-a2)+limn→∞an=0+L=L，于是limn→∞an=limn→∞bn=L

对于任意取定的k∈N+ n>k有akan0,N,当n>N时，bn-ann时， am∈[an,bn],有｜am-an｜k时

L0，存在自然数k0，当k>k0时，有｜ank-L｜N时，由于n1k0)使nk<N<NK+1，由上知｜ANK-L｜<Ε及｜ANK+1-L｜<Ε，从而

ANKANANK+1，于是有｜AN-L｜< p>

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