2013中考数学压轴题函数直角三角形问题精选解析(二)

2013中考数学压轴题函数直角三角形问题精选解析(二)

例3

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y

m 125m

x x m2 3m 2与x轴的交点44

分别为原点O和点A，点B(2,n)在这条抛物线上．

（1）求点B的坐标；

（2）点P在线段OA上，从点O出发向点A运动，过点P作x轴的垂线，与直线OB交于点E，延长PE到点D，使得ED＝PE，以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当点P运动时，点C、D也随之运动）．

①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；

②若点P从点O出发向点A作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一个点Q从点A出发向点O作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q到达点O时停止运动，点P也停止运动）．过Q作x轴的垂线，与直线AB交于点F，延长QF到点M，使得FM＝QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当点Q运动时，点M、N也随之运动）．若点P运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值．

图1

解析

m 125m

x x m2 3m 2经过原点，所以44

125

．因此y x x．所以点B的坐m2 3m 2 0． 解得m1 2，m2 1（舍去）

42

(1) 因为抛物线y

标为（2，4）．

(2) ①如图4，设OP的长为t，那么PE＝2t，EC＝2t，点C的坐标为(3t, 2t)．当点C落在抛物线上时，2t (3t)

1

4

2

522

． 3t．解得t OP

29

10

． 3

②如图1，当两条斜边PD与QM在同一条直线上时，点P、Q重合．此时3t＝10．解得t

如图2，当两条直角边PC与MN在同一条直线上，△PQN是等腰直角三角形，PQ＝PE．此时10 3t 2t．解得t 2．

如图3，当两条直角边DC与QN在同一条直线上，△PQC是等腰直角三角形，PQ＝PD．此时10 3t 4t．解得t

10

． 7

1

图1 图2 图3

考点伸展

在本题情境下，如果以PD为直径的圆E与以QM为直径的圆F相切，求t的值．

如图5，当P、Q重合时，两圆内切，t

10． 3

如图6

，当两圆外切时，t 30

图4 图5 图6

例4

如图1，已知A、B是线段MN上的两点，MN 4，MA 1，MB 1．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB x．

（1）求x的取值范围；

（2）若△ABC为直角三角形，求x的值； （3）探究：△ABC的最大面积？

2

图1

解析

（1）在△ABC中，AC 1，AB x，BC 3 x，所以

1 x 3 x,

解得1 x 2．

1 3 x x.

（2）①若AC为斜边，则1 x2 (3 x)2，即x2 3x 4 0，此方程无实根． ②若AB为斜边，则x2 (3 x)2 1，解得x ③若BC为斜边，则(3 x)2 1 x2，解得x 因此当x

5

，满足1 x 2． 3

4

，满足1 x 2． 3

54

或x 时，△ABC是直角三角形． 33

1

xh． 2

（3）在△ABC中，作CD AB于D，设CD h，△ABC的面积为S，则S

①如图2，若点D在线段AB上，则 h2 (3 x)2 h2 x．移项，得

(3 x)2 h2 x h2．两边平方，得(3 x)2 h2 x2 2x h2 1 h2．整理，

得x h2 3x 4．两边平方，得x2(1 h2) 9x2 24x 16．整理，得x2h2 8x2 24x 16

所以S2

412231

． xh 2x2 6x 4 2(x )2 （≤x 2）

4223

当x

4231时（满足≤x 2），S2取最大值，从而S取最大值．

2223

图2 图3

②如图3，若点D在线段MA上，则(3 x)2 h2 h2 x． 同理可得，S2 易知此时S

412231

． xh 2x2 6x 4 2(x )2 （1 x≤）

4223

2． 2

2． 2

3

综合①②得，△ABC的最大面积为

考点伸展

第（3）题解无理方程比较烦琐，迂回一下可以避免烦琐的运算：设AD a，

例如在图2中，由AC AD BC BD列方程1 a (3 x) (x a)． 整理，得a

2

2

2

2

2

2

2

3x 4

．所以 x

8x2 24x 16 3x 4 2

． 1 a 1 2

2

因此

x

xS2

14

x2

(1 a2) 2x2 6x 4． 4