微积分(经管类)12-13-1期末试题答案2012.12

学

院

-------------------------------

专密封业线

班

学----------------------------------------

号

密 封 线

姓

----------------------------------------

名

密

封线---------------------------------------

天津工业大学（2012—2013学年第一学期）

2013. 1理学院)

特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其它处视

一填空题(每空3分,请将答案写在空格处)

sinax

1、设f(x)

2x

,x 0在x 0处连续，则a 。

x2 2,x 0

2、 设厂商的成本函数为C C(q)，需求函数为P P(q)（P是产品销售价格，q为产量）求厂商的边际利润表达式： qP(q) C(q)

P(q) qP (q) C (q)。

3、曲线 3

x t t

在t 0点处的切线方程为：y 1 2x。 y e

2t

4、设f (xf(xh0 e2 1) f(x0)

0)存在，则lim

h 0h

2f (x0)。 5、积分 1

(f(x2)sinx

1

x2dx =

8

。 6、函数f(x)连续可导，a为非零常数，

cosaxf (sinax)dx

1

a

f(sinax) C。《微积分（经管）》第 1 页 共6页

装订线

装订线

装订线

1 x

7、设lim x

x

ax 1

tetdt，则常数a 。

a

二

(每小题5分，共30分）

1、

lim(x e

x 0

x

)

x e 11

x ex 1x

1x

=

lim

x 0

(1 x ex 1) e2

2、lim

1 x

x 1lnxx 1

x2 x lnx 3

=lim 2 2x 1

x 1

xy

3、 设y y(x)是由函数方程e x y e 2确定的隐函数，求

dydx

(1,1)

。

解：两边分别对exy x y e 2求导得：exy(y xy ) 1 y 将 1,1 带入上式整理得：e(1 y ) 1 y 因此 4、

dydx

(1,1)

1。

xdx

2x

3

令 2x t，则x (t 1)/2，dx 3tdt/2，于是

2

t3 13t234

dt (t t)dt 2x 2t2 4xdx

333t53t2

(1 2x)5 (1 2x)2 C． C 208208

《微积分（经管）》第 2 页 共6页

5、

2

2

1

1111

x

dx=e2. 3

2x

1

x

1 tx

1

1

dx x3

1

23t1

11

te( 2)dt 1tetdt

t2

=1tde te

2

1

t

t1

12

11

1edt e2.

22

1t

三

x

，求函数的增减区间、极值、凹凸区间、 x2 1

拐点及渐近线.

已知函数y

1 x2

解：定义域( , )，奇函数. 在定义域内一、二阶处处存在，且y 2，2

(x 1)

2x(x2 3)

.由y 0，得x 1；由y 0得x 0,x . y 23

(x 1)

当x 0时，函数的单调性、极值，曲线的凸凹性、拐点由下表给出.

所以：

x

在（- ，-1）,(1,+ )单调递减，在（-1,1）单调递增， x2 1

11

x 1为极小值点且极小值为-；x 1为极大值点极大值为；

22y

y

2x

在( , )，上为凸函数，在(3，上位凹函数，， ）0)，（03）

(x 1)2

)，（0,03,）为拐点； 44

( ,

《微积分（经管）》第 3 页 共6页

由limy=lim

x

x

0

，得水平渐近线y 0，无铅直渐近线和斜渐近线.

x 2

设y x2ex，求y(n).

解：y

n

x2ex

n

n n 1 n 2 021

Cnx ex Cn x2 ex Cn2 x2

ex

x2ex 2nxex n n 1 ex

求函数y x x在闭区间 5,1 上的最值.

1

解：由y x x， 5 x 1得y 1 (1 x)2

2

1

令y 0，得x

3 4

35

f() ，f( 5) 5 ，f(1) 1 44

所以y x x在闭区间 5,1 上的最大值为f() 最小值为f( 5) 5 .

3

45； 4

ax b,x 1,求a,b的值，使函数f(x) 在x 1点lnx,x 1.

可导.

解：首先f(x)要在x 1点连续，而

f(1 0) lim(ax b) a b，f(1 0) limlnx 0，f(1) 0

x 1

x 1

由f(1 0) f(1 0) f(0)，得a b 0，即b a.又

《微积分（经管）》第 4 页 共6页

f (1) lim

x 1

ax b 0a(x 1)lnx 0ln[1 (x 1)]

lim a，f(1) lim lim 1

x 1 x 1 x 1 x 1x 1x 1x 1

(1) f (1)， 由f 得a 1，所以当a 1，b 1f(x)

可导.

ax b,x 1,

在x 1点

lnx,x 1.

1、设f(x)在[0,]内连续，(0)内可导，

22

2

求证：在(0,)内至少存在两点 , 使得f ( ) f ( )cos .

2

2、若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(x) 0，设F(x)

xa

f(t)dt

xb

dt

， f(t)

(x [a，b])证明：（1）F (x) 2；（2）方程F(x) 0在区间(a,b)内有且仅有一个实根．

1、证明： f(x)与sinx在[0,

]内满足柯西中值定理的条件，故存在 (0,)，使

22

f() f(0)

f ( )f ( )得，即：f() f(0) .

2cos cos sin sin02

又f(x)在[0,]内满足拉格朗日中值定理的条件，故存在 (0,)，使得

22

f() f(0) f ( ) . 22

比较两式即得：

f ( )

f ( ) ，整理可得结论. cos 2

2、证明：（1）由f(x) 0，利用均值不等式，得

F (x) f(x)

11

2f(x) 2． f(x)f(x)

（2）由F (x) 2 0，知道F(x)单独增加，于是方程F(x) 0在区间(a,b)内至

《微积分（经管）》第 5 页 共6页

多有一个实根；

又因为f(x)在区间[a,b]上连续，所以F(x)在区间[a,b]上连续，而

F(a)

ab

bbdtdt

0，F(b) f(t)dt 0，根据零点定理，得方程

aaf(t)f(t)

F(x) 0在区间(a,b)内至少有一个实根．

综上，方程F(x) 0在区间(a,b)内有且仅有一个实根．

八、

[0， /4]定义的两条曲线y sinx、y cosx

及y轴所围成的图形分别别绕x轴y轴旋转所得旋转体的

体积Vx，Vy

解：Vx

2

/4

(cos2x sin2x)dx

/4

cos2xdx

/4

sin2x 0

2

；

/4

Vy 2

/4

x(cosx sinx)dx 2 x(sinx cosx)0

2

/4

(sinx cosx)dx

2 22 2 /4

2 (sinx cosx)0 2 (2 4)．

222

《微积分（经管）》第 6 页 共6页