线性方程组的表示、消元法

第四章 向量与线性方程组

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定义1 含有n个未知变量x1 , x2 ,

§1 线性方程组的表示、消元法

, xn的一次方程组

a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a s1 x1 a s 2 x2 a sn xn bs 称为n元线性方程组(system of linear equations),a ij ( i 1, 2, 系数，bi ( i 1, 2, , s; j 1, 2, , n)称为

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, s )称为常数项.

让

a11 a12 a21 a22 A a s1 a s 2

A ( A, ).

增广矩阵.

x1 a1n x a2 n 2 , ，X a sn xn

b1 b 2 , bn

A称为线性方程组的系数矩阵，A称为

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借助于矩阵乘法，线性方程组可表示为

矩阵形式：

AX .

, n ),

对系数矩阵A进行列分块A=( 1 , 2 , 则可得到线性方程组的向量形式：

x1 1 x2 2

xn n .

线性方程也可以表示为求和形式：

a

j=1

n

ij

x j bi , ( i 1, 2,

, s ).

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c1 c 2 n维向量X 0 若满足AX 0 , 则称X 0是 cn 线性方程组AX= 的一个解，方程组解的全 体构成的集合称为解集合.解集合相等的方 程组称为同解方程组.常数项有非零项的线 性方程组称为非齐次线性方程组，常数项 全为零的称为齐次线性方程组.

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线性方程组研究的主要问题为：

（1）线性方程组是否有解？ （2）线性方程组如有解，有多少个解?

（3）线性方程组如有解，如何求解？ 如解有无穷多，如何表示所有的解？

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消元法解线性方程组

用消元法解下列方程组的过程．

引例 求解线性方程组

2 x1 x2 x3 x4 2, x x 2 x x 4, 1 2 3 4 4 x1 6 x2 2 x3 2 x4 4, 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9,

1 2

3

4

2

(1)

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解

1 2 3 2

(1)

x1 x2 2 x3 x4 4, 2 x x x x 2, 1 2 3 4 2 x1 3 x2 x3 x4 2, 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, x1 x2 2 x3 x4 4, 2 x 2 x 2 x 0, 2 3 4 5 x2 5 x3 3 x4 6, 3 x2 3 x3 4 x4 3,

1 2

3

4 1 2

( B1 )

2 3 4

3 21 31

3

4

( B2 )

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1 2 2 3 52 4 32

x1 x2 2 x3 x4 4, x x x 0, 2 3 4 2 x 4 6, x 4 3, x1 x2 2 x3 x4 4, x x x 0, 2 3 4 x4 3, 0 0,

1 2

3

4 1 2

( B3 )

3

4

4 2 3

( B4 )

3

4

用“回代”的方法求出解：

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解得 x1 x3 4, x2 x3 3, x4 3, x3可任意取值. x1 c 4 x c 3 令x3 c, 方程组的解为 2 x3 c x4