初等数论 §2不定方程

初等数论

第二章

不定方程

§2.1 二元一次不定方程

2012-6-19

阜阳师范学院 数科院

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一、问题的提出〔百钱买百鸡〕

鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一。 百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？”

分析：设x, y, z分别表示鸡翁、鸡母、鸡雏的只数， 则可列出方程如下： x y z 100 1 5 x 3 y z 100 3

消去z得到方程7 x 4 y 100

这里，方程的个数少于未知数的个数，在实数范围内， 方程的解有无穷多个。而我们所关心的是其有无整数 〔或正整数〕解，这种方程〔组〕称为不定方程。2012-6-19

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小明家现有边长相等的正三角形、正方形、正五 边形、正六边形四种地板砖，要选择其中两种用 以铺地板,则下列选择正确的是( ) A、① ②、 B、① ③、 C、 ② ③、 D、 ② ④

分析： 这类问题实质上是“不定方程求正整数 解”的问题，因为铺好的地板中间不能出空隙， 所以两种图形内角拼在一起恰好要构成360 度角， 并且砖的块数又是正整数。于是就使几何拼图转 化成不定方程求正整数解的问题。 设需正三角形地砖m块，正方形地砖n块恰好铺成，

则有2012-6-19

60m+90n=360.阜阳师范学院 数科院 3

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二元一次不定方程的一般形式为ax by c , a , b, c Z , a , b 0 (1)

例 1 求 方 程 7 x 4 y 100 所 有 正 整 数 解 .

y

100 7 x 4

25

7x 4

x 4 , y 1 8; x 8 , y 1 1; x 12, y 4.

注：该方法对一次项系数较小的方程比较实用。2012-6-19

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二、二元一次不定方程解的形式和判定ax by c , a , b, c Z , a , b 0 (1)

定理1 若〔1〕式有整数解 x x 0 , y y 0 则〔1〕式的一切解可以表示为x x 0 b1 t , y y 0 a 1 t , 其 中 ，1 a a (a , b ) ,b b (a , b ) , t 0 , 1, 2,

(2)

注 ： 如 果 ( a , b ) 1 , 则 (1) 的 解 为 x x 0 b t , y y 0 a t .2012-6-19

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定理1的证明：

ax by c

(1)

证：把〔2〕代入〔1〕,成立，故〔2〕是〔1〕的解。设 x ', y ' 是 (1)的 任 一 解 ， 又 x 0 , y 0 是 (1)的 解 . 所 以 有 a x ' b y ' a x 0 b y 0 .

a 1 ( x ' x 0 ) b1 ( y ' y 0 ) ( a 1 , b1 ) 1

(* )

a 1 ( y ' y 0 ) t Z , 使 得 y ' y 0= a 1 t,

即 y ' y0 + a1t代 入( * ) , 得 x ' x 0 b1 t .2012-6-19

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例2

写出下列方程通解的形式：

(1) 5 x 8 y 2;

x x 0 8 t , y y 0 5 t , t 0 , 1, 2 , 或 x x 0 8 t , y y 0 5 t , t 0 , 1, 2 , ( 2 )5 x 8 y 3;

x x 0

8 t , y y 0 5 t , t 0 , 1, 2 , ( 3 )6 x 8 y 1 2;

x x 0 4 t , y y 0 3 t , t 0 , 1, 2 , 或 x x 0 4 t , y y 0 3 t , t 0 , 1, 2 , ( 4 )6 x 8 y 1 .

x x 0 4 t , y y 0 3 t , t 0 , 1, 2 , 2012-6-19

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说明：定理1给出了方程通解的一般形式。这样，解决问题的关键在于求一个特解。 问题：所有的二元一次方程都有解吗？例如 6 x 8 y 1.ax by c (1)

定理2

有整数解 ( a , b ) c .若 d c , 则 c c1d , c1 Z .

显 然 ； , 记 d (a , b ) d 可 以 表 示 为 as bt .

所 以 c c1 ( a s b t )

取 x c 1 s , y c 1 t,

即为方程〔1〕的解。2012-6-19

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三、求二元一次不定方程整数解的一般方法 先求一个特殊解，再根据定理1写出其通解。

对于方程(1),若有解，则可化为ax by c , (a , b ) 1 (3) 的形式

一般地，利用辗转相除法，得到 a s b t 1 ,则 x 0 cs , y 0 ct .

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例3 求方程 7 x 4 y 1 的一个特殊解。 解：用7、4进行辗转相除法7 4 1 3 4 3 1 1 3 7 4 1 1 4 3 17 ( 1) 4 2 1 .

所 以 ， 4 ( 7 4 1) 1, 即 1从 而 ， 0 1; y 0 2 . x

注：若原方程是 7 x 4 y 1 ,则化为 7 x 4 ( y ) 1 ,

原方程有一个特解 x 1, y 2 .2012-6-19

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例4 求

111 x 321 y 75 〔1〕的一切整数解。

解 ：(1 1 1, 3 2 1) 3

原方程可以化为 3 7 x 1 0 7 y 2 5 先求37 x 107 y 1 〔3〕

(2)

的一个整数解。

107=37×3-4,37=4×9+1, 从而1 37 4 9 37 (37 3 107 ) 9 37 ( 26) 107 ( 9)

故〔3〕的一个整数解是 x 2 6 , y 9 〔2〕的一个整数解是 x 2 6 2 5 , y 9 2 5 原方程的整数解为x 26 25 107 t , y 9 25 37 t , t Z

或 者 ， x 26 25 107 t , y 9 25 37 t , t Z2012-6-19

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三、求二元一次不定方程整数解的一般方法

代数运算，观察法例5 求107 x 37 y 25

的一切整数解。25 4 x y ' 1 4

解：y 令y'

25 107 x

3 x

37 25 4 x 37

x

37 3 7 y ' 2 5 4

9 y ' 6

取 y ' 1 x 3 y 8

即得到原方程的一个整数解 x 0 3 , y 0 8 从而所求的一切整数解为x 3 37 t , y 8 107t , t Z2012-6-19

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三、求二元一次不定方程整数解的一般方法 变量代换法 例6 求176

x 162 y 2

的一切整数解。

解：原方程可化为 8 8 x 8 1 y 1令 x y z, 则方程可化为 7 x 8 1 z 1 .再 令 u x 1 1 z,

则方程可化为 7 u 4 z 1 则方程可化为 4 t u 1 u 4 t 1 .

又 令 t 2 u z,

逐步往回代入，可得 z t 2 u 2 7 t ;x 23 81t; y 25 88 t; t Z2012-6-19

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习题讲解：P3 1 3 . 证 明 ： 方 程 a x b y N , a 0 , b 0 , ( a , b ) 1

N N 的非负整数解的个数为 或 ab 1. ab

设

x 0 , y是原方程的一个非负整数解， 0 x x0 bt , y y0 at , t Z

则其一切整数解可以表示为由 x 0, y 0

ax0 N ab

t

ax0 ab

t 的取值区间长度为2012-6-19

N ab

.

从而得证。14

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4 .证 明 ： 方 程 a x b y N , a 1, b 1, ( a , b ) …… 此处隐藏：2162字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……