第一章 一些典型方程和定解条件的推导

数学物理方程

第一章 一些典型方程和定解条件的推导 §1.1 基本方程的建立

例 1 弦的振动

1、问题的提法

给定一根两端固定（平衡时沿直线）均匀柔软的细弦，其长为l，在外力作用下在平衡位置附近作微小的横振动，研究弦上各点的运动规律。

2、方程的推导

基本假设：

（1）弦是均匀的。弦的横截面直径与弦的长度相比可以忽略（细），因此，弦可以视为一条直线，它的线密度ρ是常数。

（2）弦在某一平面内作微小横振动，即弦的位置始终在一直线附近，而弦上各点均在同一平面内垂直于该直线的方向上作微小的振动。所谓“微小”是指振动的幅度及弦在任意位置处切线的倾角都很小。

（3）弦是柔软的。它在形变时不抵抗弯曲，弦上各质点间的张力方向与弦的切线方向一致，而弦的伸长形变与张力的关系服从胡克（Hook）定律。

由上述假定推导振动方程。先讨论不受外力作用时弦的振动。由Newton第二定律，知

作用在物体上的力=该物体的质量×该物体的加速度

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于是，在每一个时间段内

作用在物体上的冲量=该物体的动量的变化

由于弦上各点的运动规律不同，必须对弦的各个片段分别进行考察。为此，如图1.1，选择坐标系，将弦的两端固定在x轴的O、L两点上（OL=l）。

图 1.1

弦乐器所用的弦往往是很轻的，它的重量只有张力的几万分 之一。跟张力相比，弦的重量完全可以略去。这样，真实的弦就抽 象为“没有重量的”弦。

把没有重量的弦绷紧，它在不振动时是一根直线，就取这直线 作为x轴(图1.1)，把弦上各点的横向位移记作u，位移u在弦上各点是不一样的，即u有赖干x；另一方面，既然研究的是振动，位移u必随时间t而变，即u又依赖于t。这样，横向位移u是x和t的函数。用u(x,t)表示弦上各点在时刻t沿垂直于x方向的位移。当t固定时，u(x,t)表示弦在时刻t所处的状态。

把弦细分为许多极小的小段。拿区间（x，x+dx）上的小段B为代表加以研究。B既然没有重量而且是柔软的，它就只受到邻段A和

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C的拉力T1和T2。

弦的每小段都没有纵向（即x方向)的运动，所以作用于B的纵向合力应为零，

T2cos 2 T1cos 1 0 （1.1）

按照弦作微小振动的假设，可知振动过程总弦上x点与x+dx处切线的倾角都很小，即α1≈0，α2≈0，从而由

cos 1 2

2! 4

4!

可知，当我们略去α1与α2所有高于一次方的各项时，就有

cos 1 1,cos 2 1

带入（1.1）式，便可近似得到

T1 T2。

在u方向弧段B受力的总和为T2sinα2- T1sinα1-ρgds，其中-

ρgds是弧段B的重力。又因当α1≈0，α2≈0时

sin 1

sin 2 tan 1 u(x,t) x u(x dx,t) x tan 2

ds dx 2u(x,t)且小弧段B在时刻t沿u方向运动的加速度近似为，小弧段的 t2

质量为ρgds，所以根据F＝ma写出B的横向运动方程

2u(x,t)Tsin 2 Tsin 1 gds ds t2

或

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u(x dx,t) u(x,t) 2u(x,t)T[ ] gdx dx（1.2） x x t2

上式左边括号内的部分是由于x产生dx的变化而引起的

变量，可用微分近似代替，即

u(x dx,t) u(x,t) u(x,t) 2u(x,t) []dx dx x x x x x2 u(x,t)的改 x

于是

2u(x,t) 2u(x,t)[T g]dx dx 22 x t

或

T 2u(x,t) 2u(x,t) g 22 x t

2u(x,t)一般说来，张力较大时振动速度变化很快，即要比g大很多， t2

所以又可以把g略去（或跟张力相比，弦的重量完全可以略去。这样，真实的弦就抽象为“没有重量的”弦）。略去次要的量，抓住主要的量，在u(x,t)关于x，t都是二次连续可微的前提下，最后得出u(x,t)应近似满足方程

2 2u(x,t)2 u(x,t) a （1.3） 22 t x

其中a2 T

。（1.3）式称为一维波动方程。

如果在振动过程中，弦上另外还受到一个与弦的振动方向平行的外力，且假定在时刻t弦上x点处的外力密度为F(x,t)，显然，在这时（1.1）及（1.2）分别为

T2cos 2 T1cos 1 0

数学物理方程

2u(x,t)Fds Tsin 2 Tsin 1 gds ds t2

利用上面的方法并略去弦本身的重量，可得弦的强迫振动方程为

2 2u(x,t)2 u(x,t) a f(x,t) （1.3）′ 22 t x

其中f(x,t)

密度。 1 F(x,t)，表示时刻t单位质量得弦在x点处所受的外力

方程（1.3）与（1.3）′得差别在于（1.3）′的右端多了一个与未知函数u无关的项f(x,t)，这个项称为自由项。包括非零自由项得方程称为非齐次方程，自由项恒等于零的方程称为齐次方程。（1.3）称为齐次一维波动方程，（1.3）′称为非其次一维波动方程。 例 2 传输线方程

1、问题的提法

对于直流电或低频的交流电，电路的基尔霍夫（Kirchhoff）定律指出同一支路中电流相等。但对于较高频率的电流（指频率还没有高到能量显著地辐射电磁波的情况），电路中导线的自感和电容的效应不可忽略，因而同一支路中电流未必相等。

2、方程的推导

今来考虑一来一往高频传输线，它被当作具有分布参数的导体（图1.2）我们来研究这种导体内电流流动的规律。在具有分布参数的导体中，电流通过的情况，可以用电流强度i与电压v来描述，此处i与v都是x，t的函数，记作i（x，t）与v（x，t）。以R，L，C，G分别表示下列参数：

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R——每一回路单位的串联电阻；

L——每一回路单位的串联电感；

C——每单位长度的分路电容；

G——每单位长度的分路电导。

根据基尔霍夫第二定律，在长度为△x的传输线中，电压降应等于电动势之和，即

iv (v v) R x i L x t

由此得

v i Ri L （1.4） x t

另外，由基尔霍夫第一定律，流入节点的电流应等于流出该节点的电流，即

vi (i i) C x G x v t

或

i v C Gv （1.5） x t

将方程（1.4）与（1.5）合并，即得i，v应满足如下方程组

v i C Gv 0 x t v i L Ri 0 t x

从这个方程组消去v（或i），即可得到i（或v）所满足得方程。例如，为了消去v，我们将方程（1.5）对x微分（假定v与i对x，t都是二次连续可微得），同时在方程（1.4）两端乘以C后再对t微分，并把两个结果相减，即得

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2i v 2i i G LC RC 0 x2 x t2 t

将（1.4）中的 v代入上式，得 x

2i 2i i LC (RC GL) GRi （1.6） 22 x t t

这就是电流i满足得微分方程。采用类似得方法从（1.4）与（1.5）中消去i可得电压v满足得方程

2v 2v v LC (RC GL) GRv （1.7） 22 x t t

方程（1.6）或（1.7）称为传输线方程（电报方程）。

根据不同的具体情况，对参数R，L，C，G作不同得假定，就可以得到传输线方程的各种特殊形式。例如，在高频传输的情况下，电导与电阻所产生的效应可以忽略不计。也就是说可令G=R=0,此时方程（1.6）与（1.7）可简化为

2i1 2i 22 tLC x

2v1 2v t2LC x2

这两个方程称为高频传输线方程。

若令a2 1，这两个方程与（1.3）完全相同。由此可见，同LC

一个方程可以用来描述不同的物理现象。一维波动方程只是波动方程中 …… 此处隐藏：6581字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……