中科大大学生数学夏令营考试试题数学分析与抽象代数

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-¡a.´.XJ- §´x2 y2 1=0,dd .

233‘¢ þ mR3¥, α1=( 1,1,1)T,α2=(1, 1,0)T,α3=(1,0, 1)T,β=( 4,3,4)T.Kβ3Ä{α1,α2,α3}e I´

a1+b2a2+b2···an+b2 u3 n>2,Kdet ············ a1+bna2+bn···an+bn 0a0 10a1 . ....4 n>1,Ý A= 1. ,KA A õ‘ª .. .0an 2 1an 1

´. 2λ 1λλ 1 22 5λ-Ý 3λ 1λ+2λ3λ 1 SmithIO.´a1+b1a2+b1···an+b1 ..

λ+1λ2λ2+1

6^Gram-Schmidt z {òR3(IOSÈ) Ä{(1,1,1)T,( 1,0, 1)T,( 1,2,3)T}z¤ IO Ä´.

7½Â¤kn ¢ ¤ ¢ 5 mVþ é¡V 5¼ê f(X,Y)=Tr(XTY),X,Y∈V, g. Q(X)=f(X,X).KQ(X) ,K.5 ê©O .

!(6©)¦Xe 5 §| Ï):

x1+x2+x3+x4+x5=1 3x1+2x2+x3+x4 3x5= 2

x2+2x3+2x4+6x5=5 5x+4x+3x+3x x=012345

=zÚl2:(x,y,z)=(3+2t,t,3t 3).0√ ²¡π l1,l2²1,…π l1 ål´¦π §. 2 11 1 o!(10©) A= 22 1 ,¦ P,¦ PAP A JordanIO/.x 13n!(10©) mþk l1:=y1

12 1

Ê!(10©) V´n‘î¼ m,(,) ÙSÈ,V Ùéó m.y²

(1)éuz ‰½ α∈V,N fα:V→R,β→(α,β)´V ¥ .

(2)N f:V→V ,α→fα´n‘ 5 mV V Ó N .8!(15©) ê Fþk ‘ mVþ 5C AÚB÷vAB=aBA

(a∈F,aØ ü ),…A´ _ 5C ,y²

(1)B "C (= 3 ên,Bn=0).

(2)AÚBk ú A þ.

Ô!(15©) S={a,b,c,d} o 8Ü.

(1)O Sþ¤k $ ê.

(2)(½¤kpØÓ o +.

(3)O Sþ¦ S/¤ + ¤k $ ê.l!(15©) R ,f(x)=x4+1 Rþõ‘ª.

(1)©O3R=Z3,Z5ü« /eòϪ©)f(x).

(2)y²éu?¿ êp,f(x)3Zp[x]¥þ .Ê!(20©)-K ,x,y K , * ¥ ,…÷vx2=2,y2=3.

(1)©OÒK=Q±9K=F5ü« /?Øx+y3Kþ 4 õ‘ª"

(2)©OÒK=Q±9K=F5ü« /?ØK(x+y)/K´Ä Galois*Ü,¿¦ÙGalois+.