初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第16讲 锐角三角函数

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第十六讲 锐角三角函数

古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用下列几何结论：在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值一定相等．正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究，1748年经过瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的sin、cos、tg、ctg的通用形式． 三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰富的性质：

1．单调性；

2．互余三角函数间的关系； 3．同角三角函数间的关系． 平方关系：sinα+cosα=1； 商数关系：tgα=

sin cos

2

2

，ctgα=

cos sin

；

倒数关系：tgαctgα=1． 【例题求解】

【例1】 已知在△ABC中，∠A、∠B是锐角，且sinA＝则S△ABC = ．

思路点拨 过C作CD⊥AB于D，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA=tanB=

注：设△ABC中，a、b、c为∠A、∠B、∠C的对边，R为△ABC外接圆的半径，不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论： (1) S△ABC= （2）

asinA

CDAC

513

513

，tanB=2，AB=29cm，

，

CDBD

2

，设CD=5m，AC＝13m，CD＝2n，BD＝n，解题的关键是求出m、n的值．

12

bcsinA b

c

12

acsinB

12

absinC

；

sinB

sinC

2R

．

【例2】 如图，在△ABC中．∠ACB＝90°，∠ABC＝15°，BC=1，则AC=( ) A．2 3 B．2 3 C．0.3 D．3 2

思路点拨 由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化．

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注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形．

（2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换．

【例3】 如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，过BC的中点D作DE⊥AB于E，连结CE，求sin∠ACE的值．

思路点拨 作垂线把∠ACE变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比．

【例4】 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB=cos∠DAC， (1)求证：AC＝BD； (2)若sinC=

1213

，BC=12，求AD的长．

思路点拨 (1)把三角函数转化为线段的比，利用比例线段证明； (2) sinC=

【例5】 已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA、sinB是方程x2 px q 0的两个根． (1)求实数p、q应满足的条件；

(2)若p、q满足(1)的条件，方程x2 px q 0的两个根是否等于Rt△ABC中两锐角A、B的正弦?

思路点拨 由韦达定理、三角函数关系建立p、q等式，注意判别式、三角函数值的有界性，建立严密约束条件的不等式，才能准确求出实数p、q应满足的条件．

学历训练

1．已知α为锐角，下列结论①sinα+cosα=l；②如果α>45°，那么sinα>cosα；③如果cosα>

121213

ADAC

，引入参数可设AD=12k，AC＝13k．

，那么α<60°； ④(sinα-1)2 1 sin ．正确的有