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注册岩土工程师基础考试的一些资料

高等数学

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一 函数、极限、连续1 函数 (1) 函数的定义 注意： 仅当两个函数的对应规律和定义域均相同时， 它们才是同一函数。 例： ( x) e ln x与 g ( x) x 不是同一函数。 f (2) 函数的性质： 有界性、单调性、奇偶性、周期性。 (3) 反函数 (4) 初等函数： 由常数函数和基本初等函数经过有限次 四则运算和函数复合构成的函数。 注意： 熟练地将初等函数拆成若干个常数函数和 基本初等函数的四则运算或函数复合。

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2 极限 1) 数列极限： xn A lim 性质： 若数列 xn 收敛， xn 必有界，反之不一定成立。 则 2) 函数极限 (1) 当 x 时，f ( x) 的极限： lim f ( x) Ax n

lim f ( x) A lim f ( x ) lim f ( x ) Ax x x

(2)当 x x0 时， ( x) 的极限： fx x0 x x0

x x0

lim f ( x) A

lim f ( x) A lim f ( x ) lim f ( x) A x x0

3) 无穷小与无穷大 (1) 无穷小与无穷大的定义 (2) 无穷小的比较： 设 lim ( x) 0, lim ( x) 0.

( x) 0, 称 ( x) 是比 ( x) 高阶的无穷小，记作 ( x) o( ( x)); ( x) ( x) 若 lim , 称 ( x) 是比 ( x) 低阶的无穷小； ( x) ( x) 若 lim c(c 0), 称 ( x) 与 ( x) 为同阶无穷小； ( x) 特别地，若c 1, 称 ( x) 与 ( x) 是等价无穷小，记作 ( x) ( x).若 lim

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(3) 等价无穷小代换定理 若 , , lim 且

存在， 则有： lim lim .

几个常用的等价无穷小： x 0 时， sin x x, tan x x, arcsin x x, arctan x x, ln(1 x ) x, x2 e 1 x, 1 cos x , 2 4) 函数极限的四则运算法则x n

1 x 1

1 x. n

5)两个重要极限 sin x lim 1; x 0 x lim(1 x) ex 0 1 x

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6)一个重要结论 a0 b , n m, n n 1 0 a0 x a1 x an lim 0, n m, x b x m b x m 1 b 0 1 m , n m. 7) 几种常用的求极限的方法 (1) 利用两个重要极限求极限 (2) 利用无穷小的性质“无穷小与有界 函数的乘积是无穷小”求极限 (3) 利用等价无穷小代换求极限 (4) 利用洛必达法则求极限

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x(e x 1) x2 例1 lim lim 2 1 x 0 ln(1 x 2 ) x 0 x (tx) 2 2 1 cos tx 2 t 例2 lim lim 2 x 0 x tan x x 0 x 2 2 例3 lim( x sin +sin2 x)不存在 x x x 2 因为： x sin lim x 2, lim sin 2 x 不存在 lim x x 2 x x t 例4 lim x sin 0 (利用“无穷小与有界函数乘积是无穷小”性质) x 0 x 1 1 lim 1 x 1 x x e x 1 x 例5 lim lim

2 e3 x x x 2 x 2 2 e 1 2 2 x lim 1 x x x x

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3 连续 1) 函数f ( x)在点x0连续的定义: lim f ( x) f ( x0 )x x0

f ( x)在点x0连续 lim f ( x) lim f ( x) f ( x0 )x x0 x x0

2) 函数的间断点及其分类 (1) 点x0为f ( x)的间断点(不连续点): 若满足下述三条中的任何一条： a) f ( x) 在点x0没定义； b) c)x x0

lim f ( x)不存在；x x0

lim f ( x) f ( x0 ).

(2) 间断点分类：x x0 x x0

第一类间断点： 若 lim f ( x)和 lim f ( x)均存在，称间断点x0为f ( x)的第一类间断点。 特别地，若 lim f ( x)存在， 称间断点x0为可去间断点。x x0

第二类间断点： 不是第一类间断点的间断点。 特别地，若 lim f ( x) , 称间断点x0为无穷型间断点。x x0

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3) 初等函数在其定义区间内是连续的。 4) 闭区间上连续函数的性质 (1) 有界性定理 (2) 最值定理 (3) 介值定理 (4) 零值点定理

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4 a, 0 x 1, 例1 设 f ( x) x 1 要使f ( x)在x 1处连续， a ? 则 k ( x 1) 3, x 1. 4 解： lim f ( x) lim( a ) 2 a, x 1 x 1 x 1 lim f ( x) lim[ k ( x 1) 3] 3, f (1) 2 a, x 1 x 1

2+a 3, a 1. x 4, 例2 f ( x) 1 x 1 , x 0, x 0 的连续区间是： ,0) (0, ) (-

1 e x , x 0, 在( , )上连续， a 0. 例3 f ( x) 则 2 x a, x 0

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例4 x 0是f ( x) 1 x

e 1 e 11 x

1 x

的何种类型间断点？ e 11 x 1 x

解： lim x 0

e 11 x

e 1 e 1 1 e x 0是f ( x)的第一类间断点中的跳跃型间断点。 (B) (0, ) (C) ( ,4) (D) (4,+ )

1, lim x 0

lim x 0

1 e

1 x

1 x

1,

例5 方程x sin x 1 0在下列区间中至少有一根的区间是：B (A) (- ,0)

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二 单元函数微分学1 导数与微分 1) 导数的定义： f ( x0 ) lim x 0

f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) lim x x0 x x x0

f ( x0 )存在 f ( x0 ) f ( x0 ) 2) 导数的几何意义： f ( x0 )表示曲线y f ( x)在点( x0 , f ( x0 ))处切线的斜率。 3) 可导与连续的关系： 可导 连续， 反之不一定成立。

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4) 各类函数求导数 (1) 复合函数求导数： 链式法则 y f (u ), u x ), 则y f [ ( x)]的导数: ( dy dy du f (u ) ( x). dx du dx (2) 隐函数求导数： dy . dx 方法： 将F ( x, y ) 0中的y视为y ( x ), 即： 设F ( x, y ) 0确定隐函数y y ( x ), 求 F ( x, y ( x )) 0, 两边对求x导数，则可求得 (3) 参量函数的导数：

x (t ) dy (t ) 确定y y ( x ), y (t ) dx (t ) 5)微分 y f ( x )在点x0的微分为： dy f ( x0 ) dx 可微 可导 dy . dx

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4 a, 0 x 1, 例1 设f ( x) x 1 在x 1处可导，则a ___, k ___ k ( x 1) 3, x 1 解： f ( x)在x 1处可导， f ( x)在x 1处连续， 4 a) lim[ k ( x 1) 3] f (1), x 1 x 1 x 1 又由 f ( x)在x 1处可导，则f (1) f (1), lim( 即：2+a 3, 则a 1

4 1 3 2(1 x) x 1 f (1) lim lim 1, x 1 x 1 ( x 1)( x 1) x 1 k ( x 1) 3 3 f (1) lim k, x 1 x 1 则k 1.

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例2 由方程y arctan( x y )所确定的隐函数y ( x)的导数 (A) 1 ( x y)2 1 1 解：y (1 y ), 得y 1 ( x y)2 ( x y)2 ( B) (C ) 1 x y 1 ( x y)2

dy 是 …… 此处隐藏：2679字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……