2017-2018学年上海复旦附中高一(上)期末数学试卷(解析版)

2017-2018学年上海复旦附中高一（上）期末数学试卷（解析版）

一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）

1.下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）

A. B. C. D.

2.已知函数y=x2-2x+3在闭区间[0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是

（）

A. B. C. D.

3.如果函数y=f（x）图象上任意一点的坐标（x，y）都满足方程 lg（x+y）=lg x+lg y，

那么正确的选项是（）

A. 是区间上的减函数，且

B. 是区间上的增函数，且

C. 是区间上的减函数，且

D. 是区间上的减函数，且

4.若函数f（x）的反函数为f-1（x），则函数f（x-1）与f-1（x-1）的图象可能是（）

A. B. C. D.

二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）

5.函数f（x）=的定义域是______．

6.函数y=x2+2（-1≤x≤0）的反函数是f-1（x）=______．

7.设，，则f（x）?g（x）=______．

8.若正数a、b满足log a（4b）=-1，则a+b的最小值为______．

9.幂函数f（x）=（t3-t+1）x3t+1是奇函数，则f（2）=______．

10.函数的单调递减区间是______．

11.函数y=的值域是______．

12.设关于x的方程x2-6x+5 =a的不同实数解的个数为n，当实数a变化时，n的可能

取值组合的集合为______．

13.对于函数f（x）=x2+ax+4，若存在x0∈R，使得f（x0）=x0，则称x0是f（x）的一个

不动点，已知f（x）在x∈[1，3 恒有两个不同的不动点，则实数a的取值范围______．

14.若函数f（x）= x-1 +m x-2 +6 x-3 在x=2时取得最小值，则实数m的取值范围是______．

15.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2-ax+a，其中a∈R．

①f（-1）=______；

②若f（x）的值域是R，则a的取值范围是______．

16.已知函数，x∈[1，2 的最大值为f（t），则f（t）的解析式为f

（t）=______．

三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

17.已知关于x的不等式log2（-2x2+3x+t）＜0，其中t∈R．

（1）当t=0时，求该不等式的解；

（2）若该不等式有解，求实数t的取值范围．

18.已知函数（x＞0）．

（1）求函数f（x）的反函数f-1（x）；

（2）若x≥2时，不等式＞恒成立，求实数a的范围．

19.某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合

污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为，x∈[0，24），其中a是与气象有关的参数，且∈，．若用每天f（x）的最大值为当天的综合污染指数，并记作M（a）．

（1）令t=，x∈[0，24），求t的取值范围；

（2）求M（a）的表达式，并规定当M（a）≤2时为综合污染指数不超标，求当a 在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．

20.指数函数y=g（x）满足g（2）=4，且定义域为R的函数是奇函数．

（1）求实数m、n的值；

（2）若存在实数t，使得不等式f（t2-2t）+f（2t2-）＞0成立，求实数的取值范围．

21.设集合M为下述条件的函数f（x）的集合：①定义域为R；②对任意实数x1、x2

（x1≠x2），都有＜．

（1）判断函数f（x）=x2是否为M中元素，并说明理由；

（2）若函数f（x）是奇函数，证明：f（x）?M；

（3）设f（x）和g（x）都是M中的元素，求证：F（x）=

＜也

是M中的元素，并举例说明，G（x）=

＞不一定是M中的元素．

答案和解析

1.【答案】A

【解析】

解：A.在（0，+∞）上是增函数，满足条件，

B．y=（x-1）2在（-∞，1 上为减函数，在[1，+∞）上为增函数，不满足条件．C．y=x-2在（0，+∞）上为减函数，不满足条件．

D．y=log0.5（x+1）在（0，+∞）上为减函数，不满足条件．

故选：A

根据函数单调性的性质分别进行判断即可．

本题主要考查函数单调性的判断，根据常见函数的单调性是解决本题的关键．比较基础．

2.【答案】C

【解析】

解：作出函数f（x）的图象，如图所示，

当x=1时，y最小，最小值是2，当x=2时，

y=3，

函数f（x）=x2-2x+3在闭区间[0，m 上上有

最大值3，最小值2，

则实数m的取值范围是[1，2 ．

故选：C．

本题利用数形结合法解决，作出函数f（x）的图象，如图所示，当x=1时，y最小，最小值是2，当x=2时，y=3，欲使函数f（x）=x2-2x+3在闭区间[0，m 上的上有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围要大于等于1而小于等于2即可．

本题考查二次函数的值域问题，其中要特别注意它的对称性及图象的应用，属于中档题．

3.【答案】C

【解析】

解：由lg（x+y）=lgx+lgy，得，

由x+y=xy得：，

解得：x+y≥4．

再由x+y=xy得：（x≠1）．

设x1＞x2＞1，

则=．

因为x1＞x2＞1，

所以x2-x10，x2-1＞0．

则，即f（x1）＜f（x2）．

所以y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，

综上，y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≥4．

故选：C．

由给出的方程得到函数y=f（x）图象上任意一点的横纵坐标x，y的关系式，利用基本不等式求出x+y的范围，利用函数单调性的定义证明函数在（1，+∞）上的增减性，二者结合可得正确答案．

本题考查了函数单调性的判断与证明，考查了利用基本不等式求最值，训练了利用单调性定义证明函数单调性的方法，是基础题．

4.【答案】A

【解析】

解：函数f（x-1）是由f（x）向右平移一个单位得到，

f-1（x-1）由f-1（x）向右平移一个单位得到，

而f（x）和f-1（x）关于y=x对称，

从而f（x-1）与f-1（x-1）的对称轴也是由原对称轴向右平移一个单位得到即

y=x-1，排除B，D；

A，C选项中各有一个函数图象过点（2，0），则平移前的点坐标为（1，0），则反

函数必过点（0，1），平移后的反函数必过点（1，1），由此得：A选项有可能，C 选项排除；

故选：A．

f（x）和f-1（x）关于y=x对称是反函数的重要性质；而将f（x）的图象向右平移a 个单位后，得到的图象的解析式为f（x-a）而原函数和反函数的图象同时平移时，他们的对称轴也相应平移．

用整体平移的思想看问题，是解决本题的关键．

5.【答案】{≥-2且x≠1}

【解析】

解：由题意，要使函数有意义，则，

解得，x≠1且x≥-2；

故函数的定义域为：{ ≥-2且x≠1}，

故答案为：{ ≥-2且x≠1}．

由题意即分母不为零、偶次根号下大于等于零，列出不等式组求解，最后要用集合或区间的形式表示．

本题考查了求函数的定义域，最后要用集合或区间的形式表示，这是容易出错的地方．

6.【答案】，x∈[2，3

【解析】

解：∵y=x2+2（-1≤x≤0）

∴x=-，2≤y≤3，

故反函数为，x∈[2，3 ．

故答案为：，x∈[2，3 ．

由原函数的解析式解出自变量x的解析式，再把x和y交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域）．

本题考查反函数的求法，考查计算能力，是基础题，反函数的定义域容易疏忽出错，注意反函数的定义域是原函数的值域．

7.【答案】x，x∈（1，+∞）

【解析】

解：∵，，

∴f（x） …… 此处隐藏：6862字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……