第二十一章二次根式

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第二十章 二次根式

一． 基础知识

1.二次根式的意义

形如a(a 0)的代数式叫二次根式

二次根式a有意义，a的取值范围是a 0;当a 0时，a在实数范围内没有意义。 如：2,x 1(x 1),

a

(a 0)等都是二次根式。 2

2.最简二次根式

满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 3.同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。 4.二次根式的主要性质

a(a 0) 2

（1）（a)2=a(a 0)。（2）a a 0(a 0)

a(a 0)

(3)

ab a (a 0,b 0).（4）

b (b 0,a 0)

aa

5.二次根式的运算

（1）因式的外移和内移

如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面。反之，也可以将根号外面的正因式，平方后移到根号里面去。 （2）有理化因式与分母有理化

两个含有二次根式的代数式相乘，若它

把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 （3）二次根式的加、减法

先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。 （4）二次根式的乘、除法 二次根式相乘（除），把被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数，并将运

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算结果化为最简二次根式。

（5）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律，乘法对加法的分配律，以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算。

6.根式

b

(b 0,a 0)的化简方法 a

（1）把

bab化为. ,然后分母有理化为

aaa

ababb

. =a2aa

（2）利用商的算术平方根的性质和分式的基本性质化去根号内的分母，即

7.运用积的算术平方根的性质[ab a b,(a 0,b 0)],二次根式的性质[a2 a(a 0)]

及因式分解等知识化简二次根式K（K的值为大于或等于零的整式）。注意：K是多项式时要先分解因式，K为整数时要先分解质因数

8.根据分式有意义的条件、二次根式有意义的条件解决求代数式的值或取值范围 对于这一类题目，一般从以下两个方面考虑： （1） 二次根式有意义，则被开方数为非负数； （2） 分式有意义，则分母不为零。 然后列出不等式（组），求其解代入所求代数式

9.利用（a） a给多项式在实数范围内分解因式。如：a2 b (a b)(a )（b为大于零的常数）

10 分母有理化的方法与技巧

（1）分母有理化的关健是确定有理化因式，其基本方法为：①根据（a） a(a 0)可知a的有理化因式是 a;②根据平方差公式，可知a 的有理化因式为a b，ax by的有理化因式是a

⑵分母有理化有时可通过约分来解决，如：

2

2

x-yx y

x y

x y

x y

x （y x 0，y 0 .

x 2xy y

x y

x y

2

x y

等。 x y x 0,y 0

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二、经典例题

例1.

a的取值范围是（ ）． A．a<1 B．a≤1 C．a≥1 D．a>1 ⑵

）．

A．6与7之间 B．7与7.5之间 C．7.5与8之间 D．8与8.5之间 例2.⑴下列各式中属于最简二次根式的是（ ） A

CD

）

A

C

D

1

例3. 计算：⑴

(π 1)0 8＋ 1 3－2×三、适时训练 （一）精心选 一选

1、下列二次根式中与2是同类二次根式的是（ ）． A． B．

2

． 2

32 C． D． 23

2、下列式子一定是二次根式的是（ ）

A． x 2 B.x C．x2 2 D．x2 2 3、下列各式中属于最简二次根式的是（ ）

A..x2 1 B.

x2y5 C. D.

0.5

4、25的算术平方根是（ ）

A．5 B.

C．–5 D．±5

5、下列式子中成立的是（ ）

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A.

( 13)2=13 B 3.6= 0.6. C. ( 13)2=－13 D.

=±6

6、已知a 2 b 1 0，那么(a b)2007的值为（ ）．

A、－1 B、1 C、32007 D、 32007 7、下列式子成立的（ ）

A( 2)2 3 2 B

x2 y2 x yC.

2 3 5 D.

2

x 2 3x

8、如图，数轴上点P表示的数可能是（ ） A

B

．C． 3.2

D

．第9题

9、若(b 3)2 3 b，则（ ）

A．b>3 B．b<3 C．b≥3 D．b≤3 10

n为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5 （二）细心填一填

11、当x___________

12、已知最简二次根式2b 1和7 b是同类二次根式。 那么b=

13、在实数范围内，因式分解a – 3 =

14、如图，在数轴上，A，B两点之间表示整数的点有 个．

1＝_______.

2

Ａ Ｂ

第4题

15

16、计算：（ 4)2007 ( 4)200817、观察下列各式：

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请你将发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来__________________________． 18、化简：(1 2)2，

19.

，则它的周长是 cm。 20. 11、观察思考下列计算过程：∵112=121，∴=11，∵1112=12321，

∴=111。 猜想：1=

（三）认真答一答

22．当x

23 .先化简再求值 (x－1－

1

在实数范围内有意义？ x 1

8x＋3

其中x＝32 )

x＋1x＋1

203

24. 计算( 5) ( ) 1

33 10.2

2

2

25. 当x>2

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26．若│1995-a│

，求a-19952的值

27、若-3≤x≤2时，试化简│x-2│

28、若x、y为实数，且

29

2.236

30、先化简，再求值（

-

（结果精确到0.01）

3-（

x=，y=27．

2

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31.

若最简根式3a

a、b的值．（ 同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）

32已知4x2+y2-4x-6y+10=0

，求（

2

+y

3-（x

）的值

33、当1 x

5

34

y2 4y 4 0，求xy的值。

35. 当a

1取值最小，并求出这个最小值。

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36.等边三角形的边长为

。

1xy

37．已知：y 8x x 1 , 2的值。

2yx

x2y xy2

38．若x 2 1,y 2 1,求的值。

(x y)2

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39. 观察下列等式：①②③

1 214

12 1

2 1(2 1)(2 1)

2；

2 1；

2

( 2)(3 2)

4 3

(4 3)(4 3)

4 3；……

回答下列问题：

（1）利用你观 …… 此处隐藏：3738字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……