九年级相似三角形知识点总结及例题讲解

知识点一：放缩与相似

1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。

2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。

注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。

⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。

⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．

3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。

注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1.

知识点二：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念

1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a、b的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a：b＝m：

am

n（或bn）

2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。a叫做比的前项，b叫做比的后项。 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。

ac

3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如bd

ac

4、比例外项：在比例bd

（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外项。 （或a：b＝c：d）中b、c叫做比例内项。

ac

5、比例内项：在比例bd

ac bd（或a：b＝c：d）中，d叫a、b、c的第四比例项。 6、第四比例项：在比例

ab

7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为ba（或

a:b＝b:c时，我们把b叫做a和d的比

例中项。

8.比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即

ac

（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单bd

位要统一，单位不统一应先化成同一单位）

（2）比例性质

ac

ad bc

1.基本性质: bd （两外项的积等于两内项积） acbd

ac (把比的前项、后项交换) 2.反比性质： bd

3.更比性质(交换比例的内项或外项)：

ab

(交换内项) c d，

ac dc ，(交换外项)bdba

db

(同时交换内外项) c a．

4.合比性质：

aca bc d

bdbd

（分子加（减）分母,分母不变）

．

注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间

b ad c

ac ac

发生同样和差变化比例仍成立．如： ．

bd a b c d

a bc d

5.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果

a c e maacem

． (b d f n 0)，那么

b d f nbbdfn

注意：(1)此性质的证明运用了“设k法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．

(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．

(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．

知识点三：黄金分割

1）定义：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），如果

ACBC

，即AC2=AB×BC，

ABAC

那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。其中AC

5 1

AB≈0.618AB。 2

2）黄金分割的几何作图：已知：线段AB.求作：点C使C是线段AB的黄金分割点.

作法：①过点B作BD⊥AB，使②连结AD，在DA上截取DE=DB；

；

③在AB上截取AC=AE，则点C就是所求作的线段AB的黄金分割点.黄金分割的比值为：

.（只要求记住）

3）矩形中，如果宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形。

知识点四：平行线分线段成比例定理

(一)平行线分线段成比例定理

1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比.

例. 已知l1∥l2∥l3,

1 2

3

AB

DEABDE

或 等.可得

BCEFACDF

2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.

由DE∥BC可得：行.

ADAEBDECADAE 或 或 .此推论较原定理应用更加广泛,条件是平DBECADEAABAC

3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这

条直线平行于三角形的第三边. (即利用比例式证平行线)

4.定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对．．．．．．．．．．．．

应成比例.

5.平行线等分线段定理：三条平行线截两条直线,如果在一条直线上截得的线段相等，难么在另一条直线上截得的线段也相等。

★三角形一边的平行线性质定理

定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所得的线段对应成比例。

几何语言 ∵ △ABE中BD∥CE

上上ABAD

∴BCDE简记：下下

ABADBCDE上上下下

ACAEACAE全全 全全归纳： 和推广：类似地还可以得到和

A

E

BC

D

E

★三角形一边的平行线性质定理推论

平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.

★三角形一边的平行线的判定定理

三角形一边平行线判定定理 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.

三角形一边的平行线判定定理推论 如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.

★平行线分线段成比例定理

1．平行线分线段成比例定理：

两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.

用符号语言表示：AD∥BE∥CF,

ABDEBCEFABDE

, , . BCEFACDFACDF

2．平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一直线上所截得的线段相等，那么在另一直线上所截得的线段也相等. 用符号语言表示：

ADBECF

AB BC.

DE DF

重心定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心.

重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍.

知识点三：相似三角形

1、 相似三角形

1）定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。 几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。

两个等腰直角三角形一定相似。 两个等边三角形一定相似。

两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。

补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似（如正四边形、正五边形等等）； 2）性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。

3）相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。 如△ABC与△DEF相似，记作△ABC ∽△DEF。相 …… 此处隐藏：5884字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……