理论力学(刘又文 彭献)答案第9章

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第9章 分析动力学基础

§9.1 概念答疑

一．动力学普遍方程 一般形式 广义坐标式 广义主动力

∑(F ma) δr=0

i

ii

i

FQj+FQ*j=0 或

n

∑δW

(j)F=0（仅δqj≠0）

FQj=∑Fi

i=1

δri

； δqj

δri

δqj

广义惯性力

F= ∑mai

Qj

i=1

n

1．动力学普遍方程是动力学的普适方程，其应用无任何限制。对吗？ 答：不对。一般形式的动力学普遍方程直接由质点系虚功方程导出，适用于一切理想双面约束系统；而广义坐标形式的动力学普遍方程是在完整约束条件下导出的，只适用于完整约束系统。

2．应用动力学普遍方程解题时，若系统中有刚体，则刚体的惯性力必须加在质心上。对吗？

答：不对。应按刚体惯性力系的简化规则进行简化，向刚体质心简化时，不要丢了可能存在的惯性力偶。

3．动力学普遍方程中应包括内力的虚功。对吗？

答：不对。动力学普遍方程是由达朗贝尔原理导出的，且为理想约束系统，其中的主动力只包含外力，故不包含内力的虚功。

4．在图9.1的行星轮系中，两轮半径均为r。曲柄OA上作用有力偶矩为M的力偶。若以轮A的绝对转角 为广义坐标，试求对应的广义力。

图9.1

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答：由∑δWF=M δ OA=M

δ

，故 2

FQ =M/2

5．匀质杆AB长为l，质量为m，因重力作用而在铅直平面内摆动，同时杆的A端沿着与水平面成θ角的斜面无摩擦地滑动，如图9.2所示，忽略滑块A的质量，试求系统对应于广义坐标x、 的广义力。

答：系统自由度为2。令虚位移δx≠0，δ =0，则

图9.2

∑δW

故

(x)

F

=mgsinθδx

(x)

FQx

δW=

δx

F

=mgsinθ

令虚位移δx=0,δ ≠0，则

l( )

δ= sin δ Wmg∑F

2

故

FQ

δW=

δ

( )

F

l

= mgsin

2

6．滑块A在弹簧的推动下沿水平直线轨道平移。滑块A上有倾角为α的直线槽。当滑块A运动时，通过小滚轮D又带动滑块B和E在铅垂槽内运动，如图9.3所示。假定各接触面都是光滑的，弹簧的刚度系数分别是k1和k2，滑块A、

B和E的质量分别是m1、m2和m3。不计弹簧质量，若取x和y为广义坐标，试求系统的广义力。

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图9.3

答：系统的自由度是2，令δx≠0,δy=0,则

∑δW

(x)

(x)

F

= k1xδx (δxtanα)(m2+m3)g

则对应于广义坐标x的广义力为

FQx

δW=

δx

F

=

k1xδx (δxtanα)(m2+m3)g

= k1x (m2+m3)gtanα

δx

令δx=0,δy≠0，则

m3g (y)

δWky= δy m3gδy ∑F2

k2

故

FQy

δW

=

δy

(y)

F

mg

k2 y 3 δy m3gδy

k2 == k2y δy

7． 如图9.4所示，质量均为m的物块A、B，置于光滑槽之中，并用两个刚度系统均为k，原长均为l的弹簧连结。若以x1、x2为广义坐标。试求相应的广义力。

图9.4

答：因为该系统为保守系统，其广义力为

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FQj=

V

(j=1,2,",k) qj

其中，FQj为与第j个广义坐标对应的广义力，V为系统的势能。

该系统势能为

V=FQ1=

11

k(x1 l)2+k(x2 x1 l)2+mgx1+mgx222

V

= [k(x1 l) k(x2 x1 l)+mg]= 2kx1+kx2 mg x1

V

= [k(x2 x1 l)+mg]=kx1 kx2 mg+kl x2

FQ2=

二．第二类拉格朗日方程

d T

一般完整系统

jdt q保守系统

T =FQj(j=1,2,",k) qj

L =0(j=1,2,",k) qj

d L jdt q

式中，拉氏函数L=T V为质点系的动势。

d L

既有保守力又有非保守力

jdt q L

′j(j=1,2,",k) =FQ qj

′j是全部非保守主动力对应于广义坐标qj的广义力。 式中，FQ

8．拉格朗日方程适用于何类约束系统？ 答：理想且完整约束。

9．拉格朗日方程解题的优点在于以整个系统为研究对象而不必取分离体，因而所有的内力均不出现在拉格朗日方程之中。对吗？

答：不对。非理想约束时，需计入内力，例如摩擦内力。

10．对于受完整而非理想约束的系统，只要把非理想约束解除，代之以约束力，并视其为主动力，则仍能应用拉格朗日方程。对吗？

答：对。当主动力全为非有势力时，采用上述第一种形式的拉氏方程；当主动力中既有势力，又有非有势力，则采用第三种形式的拉格朗日方程。

11. 如图9.5所示，均质杆AB的质量为m、长为l，用光滑铰链铰结于不计

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质量的滑块A上。滑块置于滑槽之中，并用刚度系数为k、原长为l0的弹簧悬吊，试求系统的动势。

答：动能为

T=

121

2 mvC+JC

22

若重力势能的零位置在O点，弹性势能零位置在弹簧原长，则系统的势能为

V=

l1

k(x l0)2 mg(x+cos ) 22

动势为 L=T V

12．如图9.6a所示均质杆AB搁在粗糙的圆柱上，求其作微振动的周期。其中杆长l，圆柱的半径r

(a)

(b)

图 9.6

答：取广义坐标θ如图b所示，AB杆的动能为

T=

21 211 1 JDθ=(JC+mCD)θ 2= ml2+mr2θ2 θ 2 222 12

以经过O点的水平面为零势能面，有势能函数：

V=mg(rcosθ+rθsinθ)

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1 1 2

L=T V= ml2+mr2θ2 θ mgr(cosθ+θsinθ)

2 12

代入

d L L

=0，有 dt θ θ

L 12 L22 2 2

=+mlmθθ， =mrθθ mgrθcosθ v

θ θ 12

作微振动时，略去高阶微量后有

即

12

lθ+grθ=0 12

+12grθ=0 θ

l2

所以微振动的周期

τ=213．如图9.7所示，均质圆柱A与细圆环B，其半径均为r，质量分别为mA

和mB，两者用绕过定滑轮的绳子相连，如图所示。若圆柱A作纯滚动，圆环B沿铅垂方向下降，试求系统的动能T。

答：系统的动能为

T=

11111

2+×mAr2 2+mB(r +rθ )2+mBr2θ 2 mAr2 222221 2+mr2 2+mBr2θ θ=(3mA+2mB)r2 B4

14．如图9.8所示，单摆的摆锤B质量为m，摆长为l，悬于无重滑块A上。滑块A置于光滑水平面上，又系于两个刚度系数均为k的弹簧之间。若以独立参数x、θ决定系统的位置，且重力势能零位置取在A处，试求系统的势能V、动

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能T及动势L。并求单摆微小摆动的固有圆频率。

答：

系统的势能为 V=kx2 mglcosθ 系统的动能为 T=12

m(x 2+l2θ 2+2lx θ cosθ) 拉格朗日函数为

L=

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