2013年高考数学二轮复习 第一阶段 专题一 第五节 导数及其应用课

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知识载体

第 一 阶 段

考点一 考点二 考点三 考点四

专 题 一

第 五 节

能力形成 创新意识配套课时作业

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1.牢记四个易误导数公式 (1)(sin x)′=cos x; (2)(cos x)′=-sin x; (3)(ax)′=axln a(a>0); 1 (4)(logax)′=xln a(a>0,且a≠1).

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2.把握三个概念(1)在某个区间(a,b)内，如果f′(x)>0,那么函数y=f(x)在这 个区间内单调递增；如果f′(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内 单调递减. (2)设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点x, 如果对x0附近的所有的点都有f(x)>f(x0),那么f(x0)是函数的一个

都有f(x)<f(x0),那么f(x0)是函数的一个极大值，记作y极大值=f(x0);

极小值，记作y极小值=f(x0),极大值与极小值统称为极值.(3)将函数y=f(x)在(a,b)内的各极值与端点处的函数值f(a), f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

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3.会用积分的三个公式与一个定理 (1)定积分的性质：b ①∫bkf(x)dx=k∫af(x)dx; a

∫a ②∫b[f1(x)± 2(x)]dx=∫bf1(x)dx± bf2(x)dx. f a a ③∫bf(x)dx=∫c f(x)dx+∫bf(x)dx(其中 a<c<b). a a c (2)微积分基本定理： 一般地，如果 f(x)是区间[a,b]上的连续函数，并且 F′(x) =f(x),那么∫bf(x)dx=F(b)-F(a). a

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[考情分析] 本知识点常考查的内容有：求过某点切线的斜率、方程、切点坐标，或以切线的平行、垂直为载体 求参数的值.试题多以选择和填空题的形式出现，有时也 作为解答题的条件或某一问的形式进行考查.

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[例 1]

π 若曲线 f(x)=xsin x+1 在 x=2处的切线与直线 ax+ ( B.-1 D.2 )

2y+1=0 互相垂直， 则实数 a 等于 A.-2 C.1

[思路点拨] 直关系求解.

利用导数的几何意义求得切线的斜率， 再利用垂

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[解析]

f′(x)=sin x+xcos

π x,f′ 2 =1,即函数f(x)=xsin

π x+1在点x= 2 处的切线的斜率是1,直线ax+2y+1=0的斜率是 a a -2,所以(-2)×1=-1,解得a=2.

[答案]

D

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[类题通法] 求曲线y=f(x)的切线方程的类型及方法 (1)已知切点P(x0,y0),求切线方程： 求出切线的斜率f′(x0),由点斜式写出方程； (2)已知切线的斜率k,求切线方程：

设切点P(x0,y0),通过方程k=f′(x0)解得x0,再由点斜式写出方程； (3)已知切线上一点(非切点),求切线方程： 设切点P(x0,y0),利用导数求得切线斜率f′(x0),再由斜 率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0,再由点斜式或两点

式写出方程.

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[冲关集训]1.(2012· 四川成都石室中学高三诊断)设函数f(x)=g(x)+x2,曲 线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y =f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为 1 A.-4 C.4 B.2 1 D.-2 ( )

解析：选 C =2x+1 ,

∵曲线

y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y

∴g′(1)=k=2.又f′(x)=g′(x)+2x, ∴f′(1)=g′(1)+2=4,故切线的斜率为4.

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2.(2012· 新课标全国卷)曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切 线方程为________. 解析：y′=3ln x+1+3,所以曲线在点(1,1)处的切线斜 率为4,所以切线方程为y-1=4(x-1),即y=4x-3. 答案：y=4x-3

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3.过点(1,0)作曲线y=ex的切线，则切线方程为________. 解析：设切点为P(x0, x0),则切线斜率为e x0,切线方程 e 为y-e x0=e x0(x-x0),又切线经过点(1,0),所以- e x0 =e x0 (1-x0),解得x0=2,切线方程为y-e2=e2(x-2),即 e2x- y-e2=0. 答案：e2x-y-e2=0

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[考情分析] 用导数研究函数的单调性是历年高考必考内 容，尤其是含参函数的单调性的研究成为高考命题的热点，在

选择题或填空题中主要考查由函数的单调性求解参数的取值范围，在解答题中以求解函数的单调区间为主，结合含参不等式 的求解等问题，主要考查分类讨论的数学思想，试题有一定的 难度.