湖南省永州市第四中学高中部2016年高一数学自主招生考试试题(特

2016年永州市第四中学高中部自主招生考试试题

数学（试题卷）

注意事项：

1.本场考试时间为150分钟，总分为120分。

2.考生在答题前请检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，若有请立即向监考老师通报。答案请填写在答题卡上，写在试题卷上无效。

3.本张试卷为2016年永州四中文科实验班、理科特奥班自主招生考试试卷。

一．选择题（共6小题，每小题6分，共36分） 1．一列数a1，a2，a3， ，其中a1=，an=（n为不小于2的整数），则a100=（ ）

2．已知，则的值为（ ）

线AD，射线BC上．若点E与点B相交于点G，则（ ）

3．已知AD∥BC，AB⊥AD，点E，点F分别在射关于AC对称，点E与点F关于BD对称，AC与BD

PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小时，P点的坐标为（ ）

2

6．已知抛物线y=﹣x+1的顶点为P，点A点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B

，C、D，连结PA、PD，PD交AB于点E，△PAD

是第一象限内该二次函数图象上一点，过分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为与△PEA（ ）

二．填空题（共4小题，每小题6分，共24分）

2

7．如果函数y=b的图象与函数y=x﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的图象恰有三个交点，则b的可能值是 ． 8．如图，已知直线

交x轴、y轴于

点A、B，⊙P的圆心从原点出发以每秒1（s），半径为，则t= s时

个单位的速度向x轴正方向移动，移动时间为t

⊙P与直线AB相切．

9．一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体称为集合．一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的．如一组数1，1，2，3，4就可以构成一个集合，记为A={1，2，3，4}．类比实数有加法运算，集合也可以“相加”．定义：集合A与集合B中的所有元素组成的集合称为集合A与集合B的和，记为A+B．若A={﹣2，0，1，5，7}，B={﹣3，0，1，3，5}，则A+B= ． 10．对于X，Y定义一种新运算“*”：X*Y=aX+bY，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法的运算．若

成立，那么2*3= ．

三．解答题（共5题，每题12分，共60分） 11．如图，二次函数

与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1个单位每秒的

速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动．设PQ交直线AC于点G． （1）求直线AC的解析式；

（2）设△PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式；

（3）在y轴上找一点M，使△MAC和△MBC都是等腰三角形．直接写出所有满足条件的M点的坐标； （4）过点P作PE⊥AC，垂足为E，当P点运动时，线段EG的长度是否发生改变，请说明理由．

试题图

备用图

12．已知直线y=﹣x+4与x轴和y轴分别交与B、A两点，另一直线经过点B和点D（11，6）．

（1）求AB、BD的长度，并证明△ABD是直角三角形；

（2）在x轴上找点C，使△ACD是以AD为底边的等腰三角形，求出C点坐标；

（3）一动点P速度为1个单位/秒，沿A﹣B﹣D运动到D点停止，另有一动点Q从D点出发，以相同的速度沿D﹣B﹣A运动到A点停止，两点同时出发，PQ的长度为y（单位长），运动时间为t（秒），求y关于t的函数关系式．

13．在边长为1的正方形ABCD中，以点A为圆心，AB为半径作圆，E是BC边上的一个动点（不运动至B，C），过点E作弧BD的切线EF，交CD于F，H是切点，过点E作EG⊥EF，交AB于点G，连接AE． （1）求证：△AGE是等腰三角形；

（2）设BE=x，△BGE与△CEF的面积比，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）在BC边上（点B、C除外）是否存在一点E，使得GE=EF，若存在，求出此时BE的长，若不存在，请说明理由．

14．如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知∠EAT=30°，AE=3MN=2．

（1）求∠COB的度数； （2）求⊙O的半径R； （3）点F在⊙O上（

，

是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，

F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画

出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．

15．如图，直角梯形ABCO的两边OA，OC在坐标轴的正半轴上，BC∥x轴，OA=OC=4，以直线x=1为对称轴的抛物线过A，B，C三点．

（1）求该抛物线的函数解析式；

（2）已知直线l的解析式为y=x+m，它与x轴交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P．

①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l于点H，连结OP，试求△OPH的面积；

②当m=﹣3时，过点P分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F．是否存在这样的点P，使以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2016年永州四中高中部自主招生考试数学参考答案

选择题 1-6.ABABDB 填空题 7. ﹣6、﹣

8.

或24

9.{﹣3，﹣2，0，1，3，5，7} 10.1 解答题

11.（1）y=﹣x2

+2，

x=0时，y=2， y=0时，x=±2， ∴A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2）， 设直线AC的解析式是y=kx+b， 代入得：

，

解得：k=1，b=2，

即直线AC的解析式是y=x+2；

（2）当0＜t＜2时， OP=（2﹣t），QC=t，

∴△PQC的面积为：S=（2﹣t）t=﹣t2

+t， 当2＜t≤4时， OP=（t﹣2），QC=t，

∴△PQC的面积为：S=（t﹣2）t=t2

﹣t，

∴；

（3）当AC=CM=BC时，M的坐标是：（0，

），（0，﹣2）；

当AM=BM=CM时，M的坐标是：（0，0），（0，）； 一共四个点，（0，），（0，0），（0，），（0，﹣2）；

（4）当0＜t＜2时，过G作GH⊥y轴，垂足为H． 由AP=t，可得AE=．

∵GH∥OP

∴即

=，解得GH=，

所以GC=

GH=

．

于是，GE=AC﹣AE﹣GC=

=．

即GE的长度不变．

当2＜t≤4时，过G作GH⊥y轴，垂足为H． 由AP=t，可得AE=． 由

即

=

，

∴GH（2+t）=t（t﹣2）﹣（t﹣2）GH， ∴GH（2+t）+（t﹣2）GH=t（t﹣2）， ∴2tGH=t（t﹣2）， 解得GH=， 所以GC=

GH=

． 于是，GE=AC﹣AE+GC=2

﹣t+

=

，

即GE的长度不变．

综合得：当P点运动时，线段EG的长度不发生改变，为定值．

12.（1）令x=0，y=4， 令y=0，则﹣x+4=0， 解得x=3，

所以，A（0，4），B（3，0）， 由勾股定理得，AB==5，

BD=

=10，

过点D作DH⊥y轴于H，DH=11，AH=2， 由勾股定理得，AD=

==，

∵AB2

=25，BD2

=100，

∴AB2+BD2=AD2

，

∴△ABD是直角三角形；

（2）设OC长为x，由等腰三角形以及勾股定理得到x2+42=（11﹣x）2+62

，解得x=， 所以，C（

，0）；

（3）设t秒时相遇，由题意得，t+t=5+10，

解得t=7.5，

点P在AB上时，0≤t≤5，PB=5﹣t，BQ=10﹣t， PQ=

=

=

，

点P、Q都在BD …… 此处隐藏：4237字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……