最全 解析几何第四版习题答案第四章(完整版)

第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面

§ 4.1柱面

1、已知柱面的准线为：

?

??=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线c z y x ==,，试求这些柱面的方程。 解：（1）从方程

???=+-+=-+++-0

225)2()3()1(222z y x z y x 中消去x ，得到：25)2()3()3(222=-+++--z y y z 即：02

35622=-

---+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。 （2）取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 且平行于直线?

??==c z y x 的直线方程为： ?????=-=-=???

???=+=+=z z t y y t x x z z t

y y t x x 0

00000 而0M 在准线上，所以 ???=+--+=-++-+--0

2225)2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到：02688823222=--+--++z y x xy z y x

此即为要求的柱面方程。

2

而0M 在准线上，所以：

???+=-++=-)

2(2)2(2

2t z t x t z y t x 消去t ，得到：010*********=--+++z x xz z y x

此即为所求的方程。

3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。

解：过

又过准线上一点),,(1111z y x M ，且方向为{

}1,1,1的直线方程为： ?????-=-=-=???

???+=+=+=t z z t y y t x x t z z t

y y t x x 1

11111 将此式代入准线方程，并消去t 得到： 013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x

此即为所求的圆柱面的方程。

4、已知柱面的准线为{})(),(),((u z u y u x u =γ，母线的方向平行于矢量{}Z Y X ,,=，试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：

S v u Y x +=)(

与

??

???+=+=+=Zv u z z Yv u y y Xv u x x )()()(

式中的v u ,为参数。

证明：对柱面上任一点),,(z y x M ，过M 的母线与准线交于点))(),(),((u z u y u x M '，则，v M ='

即

1、求顶点在原点，准线为01,0122=+-=+-z y z x 的锥面方程。

解：设为锥面上任一点),,(z y x M ，过M 与O 的直线为：

z

Z y Y x X == 设其与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使zt Z yt Y xt X ===000,,，将它们代入准线方程，并消去参数t ，得：

0)()(222=-+--y z y z z x

即：0222=-+z y x

此为所要求的锥面方程。

2、已知锥面的顶点为)2,1,3(--，准线为0,1222=+-=-+z y x z y x ，试求它的方程。

解：设),,(z y x M 为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为：

2

21133++=++=--z Z y Y x X 令它与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使

?????++-=++-=-+=t z Z t y Y t x X )2(2)!(1)3(30

00

将它们代入准线方程，并消去t 得：

044441026753222=+-+-+--+-z y x xz yz xy z y x

此为要求的锥面方程。

4、求

对锥面上任一点),,(z y x M ，过M 与顶点O 的母线为：

z

Z y Y x X == 令它与准线的交点为),,(000Z Y X ，即存在t ，使zt Z yt Y xt X ===000,,，将它们代入准线方程，并消去t 得：

0=++zx yz xy

此即为要求的圆锥面的方程。

5、求顶点为)4,2,1(，轴与平面022=++z y x 垂直，且经过点)1,2,3(的圆锥面的方程。 解：轴线的方程为：1

42221-=-=-z y x 过点)1,2,3(且垂直于轴的平面为：

0)1()2(2)3(2=-+-+-z y x

即： 01122=-++z y x 该平面与轴的交点为)9

37,920,911(，它与)1,2,3(的距离为： 3

116)1937()2920()3911(222=-+-+-=d ∴要求圆锥面的准线为： 的径矢为{}0000,,z y x =γ，试证明锥面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：

0()(1)v u v γγγ=+-

与

000()(1)()(1)()(1)x vx u v x y vy u v y z vz u v z =+-??=+-??=+-?

式中，v u ,为参数。

证明：对锥面上任一点),,(z y x M ，令OM γ=，它与顶点A 的连线交准线于

((),(),()M x u y u z u '=，即OM ()u γ'=。

//AM AM '，且0AM '≠（顶点不在准线上）

AM vAM '∴=

即00(())v u γγγγ-=-

亦即0()(1)v u v γγγ=+-

此为锥面的矢量式参数方程。

若将矢量式参数方程用分量表示，即：

000{,,}{(),(),()}(1){,,}x y z v x u y u z u v x y z =+-

??

???-+=-+=-+=∴000)1()()1()()1()(z v u vz z y v u vy y x v u vx x

此为锥面的坐标式参数方程，v u ,为参数。

§ 4.3旋转曲面

1、求下列旋转曲面的方程：

（1）；

111112x y z -+-==-绕1112

x y z -==-旋转 （2）；1211x y z -==-绕1112

x y z -==-旋转 （3）1133x y z -==-绕z 轴旋转； （4）空间曲线2221

z x x y ?=??+=??绕z 轴旋转。 解：（1）设1111(,,)M x y z 是母线111112x y z -+-==-上任一点，过1M 的纬圆为：

111222222111()()2()0(1)(1)(1)

(2)x x y y z z x y z x y z ---+-=??++-=++-? 因1M 在母线上， 1111211

x y z -∴==- (3) 从（1）——（3）消去111,,x y z ，得到：

2225523122424242446230x y z xy yz xz x y z ++--+-+-+= 此为所求的旋转面的方程。

（3）对母线上任一点1111(,,)M x y z ，过该点的纬圆为：

1222222111

(1)(2)z z x y z x y z =??++=++? 又1M 在母线上，所以：1111133

x y z -==- （3） 从（1）——（3）消去111,,x y z ，得到：

2229()10690x y z z +---=

此为所求的旋转面方程。

（4）对母线上任一点1111(,,)M x y z ，过1M 的纬圆为： 1222222111

(1)(2)z z x y z x y z =??++=++? 又1M 在母线上，所以

2112211(1)1(2)z x x y ?=??+=??

从（1）——（3）消去111,,x y z ，得到：

221x y +=

211101z z x z ==≤∴≤≤

即旋转面的方程为：221x y += (01)

z ≤≤ 2、将直线01

x

y z βα-==绕z 轴旋转，求这旋转面的方程，并就,αβ可能的值讨论这是什么曲面？

解：先求旋转面的方程式：

z

任取母线上一点1111(,,)M x y z ，过1M 的纬圆为：

1222222111

(1)(2)z z x y z x y z =??++=++? 又1

1101

x y z βα-== （3） 从（1）——（3）消去111,,x y z ，得到：

222220x y z αβ+--=

此即为所求旋转面的方程。

当0,0αβ=≠时，旋转面为圆柱面（以z 轴为轴）；

当0,0αβ≠=时，旋转面为圆锥面（以z 轴为轴，顶点在原点）；

当,0αβ≠时，旋转面变为z 轴；

当0,0αβ=≠时，旋转面为单叶旋转双曲面。

3、已知曲线Γ的参数方程为(),(),()x x u y y u z z u ===，将曲线Γ绕z 轴旋转，求旋转曲面的参数方程。

解：如图，设((),(),())M x u y u z u 为Γ上任一点，则对经过M 的纬圆上任一点(,,)p x y z ，

§4.4椭球面 1、做出平面20x -=与椭球面222

21494

x y z ++=的交线的图形。 解：平面20x -=与椭球面222

21494x y z ++=的交线为： 2239442y z x ?+=???=? ，即 22

12734y z ?+=???? ——椭 图 …… 此处隐藏：7311字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……