地大期末考试 线性代数答案

线性代数答案

一、选择题

1、C 2、C 3、A 4、A 5、C 二、填空题 1、12

2、入≠-2且入≠1

3、k=4 4、24 1 55、

2 2

524 3

2 3 2

三、计算题

2

1、已知矩阵A 1

3

1 11

2 1

2 ,B 0

03

020

0

0 ，求(AB) 1。 3

解：

1 0 0

,

因为(AB) 1 B 1A 1，B 1

0120

0032

A

2 I 1

3

1 1 2010

0 21229

1 110101 1

5

2231231 2

5

100

010

0 1 0 2

31

0 10010

001025

111 11 21

9

55

2 23 12 11

55

0100 0 1

100

0

0 1

1

0

0

1 0 0

0 1 0 0

01 0 1 0 0

5 0

0

5 5

A

1

1

95 25

1

125 15

0

1 1 12

BA5 ，所以 (AB)

1 5

1 910 35

1 65 310

015310

2．求向量组 1 (1,2,1,2), 2 (1,7, 1,6), 3 (1, 1,2,0), 4 (4,2,5,6)的极大无关组，

并用极大无关组表示其余向量。

1 2A

1

解： 2

1

0

0 0

17 161100

1 1 101 120

4 1 2 0

05 6 04 1 4 0

0 7 0 0

15 240100

0010

1 31 2

4 1

6 0

01 2 0

11 20

1 110

4

4 1 0 ，

6

3 7 0

因此，极大无关组为 1, 2, 3 且 4 6 1 3 2 7 3。

3、方程组

2

4、已知矩阵A 1

1

121

1 1

1 ，求正交矩阵T使得TAT为对角矩阵。 2

解：

2

1) 首先求其特征值：| I A|

1 1

1 1 1

( 4)( 1) 0，

2

2 1

2

其特征根为： 1 2 1, 3 4.

2) 求各特征值的特征向量，当 1 2 1时求得特征向量为( 1,1,0),( 1,0,1)，

T

T

T

将其正交化得( 1,1,0),(

12

16

,

12

,1)， 再将其单位化得

T

(

12

,

12

,0),(

T

,

16

,

22

)

T

T

当 3 4时特征向量为(1,1,1)，将其单位化得(

13

,

13

,

13

).

T

1

2

1

3）所得正交矩阵T

2 0

161626

1 3 1 ， 3 1 3

T

1

1

AT

1

1

为对角矩阵. 4

20 2 2

330 3

444

1

2200

3630

488

5、解原式=

1 1 1

=

000

=1ⅹ2ⅹ3ⅹ4=24 所以原式D=24

四、证明题

设n阶方阵A满足A2 A 3I 0，求证A-2I和A+I都可逆。 证明：因为A2 A 3I 0

故A2 A 3I A2 A 2I I 即(A 2I)(A I) A2 A 2I I 由定义可知A-2I和A+I都可逆。