9-1 内积空间的基本概念

第九章 内积空间和希尔伯特空间 内积空间和希尔伯特空间§1 §2 内积空间的基本概念 投影定理

§3 希尔伯特空间中的规范正交系 §4 希尔伯特空间中的连续线性泛函 自伴算子、 §5 自伴算子、酉算子和正常算子

§1

内积空间的基本概念

主要内容一 二 三 内积空间和希尔伯特空间的概念 内积空间和希尔伯特空间的概念 和希尔伯特空间 施瓦茨不等式与极化恒等式 内积空间的具体例子

一

内积空间和希尔伯特空间的概念 内积空间和希尔伯特空间的概念 和希尔伯特空间在复欧氏空间中,向量除了有长度的概念外, 在复欧氏空间中,向量除了有长度的概念外,

还定义了两个向量的内积的运算,即若 还定义了两个向量的内积的运算,

a = (ξ1 , ξ 2 , ξ n ), b = (η1 ,η2 ,ηn )则a 与

b 的内积定义为: 的内积定义为:(1)

< a , b >= ξ1η1 + ξ 2η 2 + + ξ nη n ,长度有以下关系

的复共轭, 其中ηi 表示 ηi 的复共轭,并且内积与向量 a 的

a =

< a, a >

由内积定义, 由内积定义,可知两个向量 a 与 b 正交等价于< a, b >= 0 .显然，在有限维复欧氏空间 E n 中, 显然，

由(1)定义的内积具有下述性质: (1)定义的内积具有下述性质: 定义的内积具有下述性质 1.

< a, a >≥ 0, 且 < a, a >= 0等价于a = 0;其中a, b, c ∈ E , α , β 为复数;n

2. < α a + β b, c >= α < a, c > + β < b, c >

3.

< a, b >= < b,a >, a, b ∈ E .n

定义1 定义1

是复线性空间, 设 X 是复线性空间,如果对 X 中

任何在两个向量

x, y ,有一复数 < x, y > 与

之对应,并且满足下列条件: 之对应,并且满足下列条件: 1. < x, x >≥ 0, 且 < x, x >= 0 等价于 x = 0, x ∈ X ; . 2. < α x + β y , z >= α < x, z > + β < y , z >

其中 x, y, z ∈ E n , α , β 为复数;

< x, y >= < y,x >, x, y ∈ E . 的内积, 为内积空间. 则称 < x, y > 为 x 与 y 的内积,称 X 为内积空间.3.n

是实的线性空间,则条件3 如果 X 是实的线性空间,则条件3就改为

< x, y >=< y, x > .从内积的定义, 从内积的定义,立即可以得到下面的等式

< x,α y + β z >= α < x, y > +β < x, z > .设 X 是内积空间,令 是内积空间,

(2)

x = < x, x >,范数 || x ||为由内积导出的范数. 为由内积导出的范数.

(3)

上的范数. 且称(3) (3)式定义的 则可证 || x ||是 X上的范数. 且称(3)式定义的

内积空间是一种特殊的赋范空间. 所以 内积空间是一种特殊的赋范空间. (3)式中范数完备 则称为Hilbert空间. 式中范数完备, Hilbert空间 若 X 按(3)式中范数完备,则称为Hilbert空间. 事实上,由内积定义(2)式 事实上,由内积定义(2)式,不难证明 (2)

(a ) x ≥ 0, 且 x = 0等价于x = 0; (b) α x = α x .为了证明范数不等式 x + y ≤ x + y ,我们首先 证明施瓦茨(Schwarz)不等式:

证明施瓦茨(Schwarz)不等式: (Schwarz)不等式

二 施瓦茨不等式与极化恒等式引理1(Schwarz不等式) 引理1(Schwarz不等式) 设 X 按内积 < x, y > 1(Schwarz不等式 成为内积空间, 成为内积空间,则对于 X 中任意向量 x, y 有

< x, y > ≤ x当且仅当 才成立. 才成立

y .

(4)

x与 y 线性相关时，不等式(4)中等号 线性相关时，不等式(4) (4)中等号

证明 如果 y = 0 ,易知对一切 x∈ X, < x,0 >= 0,

因而(4)式成立. 因而(4)式成立.若 y ≠ 0 ,则对每个复数 α , (4)式成立 由内积条件1, 1,有 由内积条件1,有

0 ≤ < x α y, x α y >

=< x, x > α < x, y > α[< y, x > α < y, y >]令 α =< y, x > / < y, y > ,那么上式方括号中 式子为0,所以 式子为0,所以 0,

< x, y > < y, x > 2 < x, y >= x 0 ≤< x, x > 2 < y, y > y

2

并且开方, 两边乘以 y ,并且开方,即可得到要证的 Schwarz不等式 Schwarz不等式

2

< x, y > ≤ x

y .

若 x 与 y 线性相关，通过直接计算,易知 线性相关，通过直接计算, (4)式中等号成立,反之, (4)式中等号成立, (4)式中等号成立,反之,若(4)式中等号成立, 式中等号成立 式中等号成立 假定 y = 0 ,则 x 与 令

y 自然线性相关,若 y ≠ 0 , 自然线性相关,

α = < x, y > / < y, y >,

由Schwarz不等式推导过程,易知 x αy = 0 , Schwarz不等式推导过程, 不等式推导过程2

即 x = α y .所以 x 与 y 线性相关.证毕. 线性相关.证毕. 满足范数不等式.事实上, 下面我们来证明 x 满足范数不等式.事实上,

x+y =<x+y, x+y > =<x, x >+< y, x>+<x, y >+< y, y > 2 2 =|| x || + < x, y > + < y, x > + || y ||2

≤ || x ||2 +2|| x || || y || +|| y ||2= (|| x || +|| y ||)2,所以

|| x + y || ≤ || x || + || y ||

是由内积导出的范数, 若 || x || 是由内积导出的范数,则范数 || x ||满足x + y + x y = 2( x + y ). x, y ∈ X2 2 2 2

(5)

反之, 是赋范线性空间, 反之,设 X 是赋范线性空间,若范数 || x ||满足 (5)式 (5)式，则一定可在 X 中定义内积 <

x, y > ,

导出的范数. 使 || x || 就是由内积 < x, y > 导出的范数.所以 (5)式是内积空间中范数的特征性质. (5)式是内积空间中范数的特征性质. 式是内积空间中范数的特征性质

为内积空间, (3)给出了 上的范数, 设 X 为内积空间,由(3)给出了 X 上的范数, 反之， 是赋范线性空间， 反之，设 X 是赋范线性空间，且范数 || x || 由某 导出的, 内积 < x, y > 导出的,则此内积可用范数表为

1 2 2 2 2 < x, y >= (|| x+ y || || x y || +i || x+i y || i || x i y || ) (6) 4(6)式称为极化恒等式,它表示内积可以用它所 (6)式称为极化恒等式,它表示内积可以用它所 式称为极化恒等式 导出的范数来表示. 为实内积空间时， 导出的范数来表示. 当 X 为实内积空间时， 极化恒等式变为

1 2 2 < x, y >= ( x + y x

y ). 4

(7)

由Schwarz不等式,立即可知内积是两个 Schwarz不等式, 不等式 变元的连续函数, 变元的连续函数,即当 xn → x, yn → y 时,有

< xn , yn >→< x, y > (n → ∞)事实上, 事实上,因为

< x, y > < xn , yn >≤ < x, y yn > + < x xn , yn >

≤ x

y y n + x xn

yn

三 内积空间的具体例子L2 [a, b]. 对 L2 [a, b]中任意向量 x, y,定义 例1

< x, y >= ∫ x(t ) y (t )dt.a

b

(8)

L2 [a, b] 按(8)中内积成为内积空间,又由 (8)中内积成为内积空间 中内积成为内积空间, 易知

内积(8)导出的范数 内积(8)导出的范数 (8)b 2 a

x = ( ∫ x (t ) dt ) ,成为Hilbe …… 此处隐藏：2256字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……