线性代数复习1 题目+答案

线性代数

复习题一

一、填空题（每空3分）

1 0 0

1．设A 1 2 0 ，则 A ， A 1 ，

1 1 3

A

2

.

1

1 2 2 3

0 2 3 4 1 4

2

101 1

2． 010 2

0 0 1 1

1 1 1

2 0 0

3．行列式 2 1 2 ，行列式0 1 -2 ___________.

3 3 6

0 2 2

(1, 2, 1)的内积为： 夹角为：4． 两个向量 1 (1, 1, 0), 2

把 1， 2用施密特正交化方法得: 1 1， 2

(2,3)，5．若向量 (4,7), 1 (1,2), 2则 用 1, 2组合的表达式是 (1, -1 , 1), 3 (0, 1, 0), '4 (3,1,3)的线性相关性为：6．向量组 1 (2, 0, 0), 2

线性 ，它的秩是 .

7．已知向量组α1=(1,0,0),α2=(2,5,2),α3=(1,5,k)线性相关,则k =_____________. 8．若3阶方阵A的三个特征根分别是1，2，3，则方阵A的行列式A 1

9． 设矩阵A= 0

0

010

100

0 0

1 0 ，则矩阵A的秩为 ，线0 0

性方程组AX O的基础解系的向量个数为 . 10．给定线性方程组

x1 x2 x3 1

x1 x2 x3 2

（ 1）x3 x1 x2

,

线性代数

则：当 时，方程组有唯一解；当λ= 时方程组有无穷解； 当λ= 时方程组无解.

2 0 0

11．矩阵A 1 2 1 的特征值为： 1，对应于特征值 1的特

1 0 1

征向量为： .

12． 设方阵A满足A A E,则A ____________.

13．二次型f(x1,x2,x3) x12 2x1x2 2x22 2x2x3 2x32的矩阵

为： ，该二次型为 定二次型.

二、计算题（共5 分）

设矩阵A=

2 1

1 1

, 求矩阵X, 使AX = A+2E

三、计算题（共6 分）

已知向量组

1 1 3 2 1 2 4 2 1 ,　 2＝ ,　 3＝ ,　 4＝ .

1132 1 1 1 1

求向量组 1， 2， 3， 4的一组极大线性无关组,并把其余向量用此组向量表示出来.

四、计算题（共6 分）

x1 x2 x3 x4 2

求非齐次线性方程组 的通解．

2x1 2x2 x3 x4 2

五、限选题（共8 分）

线性代数

（经管类学生可选做第1、2小题中的一题，理工类学生仅限做第2小题）

(1) ()已知二次型f(x) x12 x22 x32 2x1x3，

a） 此二次型所对应的矩阵A；

b）用配方法将二次型化为标准型； c） 写出相应的可逆线性变换矩阵。

(2)（ 已知二次型f(x) ax12 x22 3x32 2x1x2的秩为2 a） 写出二次型所对应的矩阵A, 并求参数a； b）计算二次型所对应的矩阵A的特征值； c） 写出经正交变换后，二次型化成的标准形。

复习题一 答案

一、填空题（共75 分每空3分）

1 0 0 1 0 0

1．设A 1 2 0 ，则 A ， A 1 1/2 1/2 0 ，

1 1 3 - 1/6 -1/6 1/31

A

2

.

1 2 3

0 2 0 ,

2 1 2

101 1

2． 010 2

0 0 1 1

1 2 2 3 5 8

2 3 4 1 4 5 12 .

1 1 1

2 0 0

3．行列式 2 1 2 ，行列式0 1 -2 3 3 6

0 2 2

(1, 2, 1)的内积为：， 夹角为： /6; 4． 两个向量 1 (1, 1, 0), 2

'

1/2,1/2,0） 把 1， 2用施密特正交化方法得: 1 1， 2 （

(2,3)，则 用 1, 2组合的表达式是5．若向量 (4,7), 1 (1,2), 2

2 1 2.

(1, -1 , 1), 3 (0, 1, 0), '4 (3,1,3)的线性相关性为：6．向量组 1 (2, 0, 0), 2

线性代数

线性相关，它的秩是 3 .

7．已知向量组α1=(1,0,0),α2=(2,5,2),α3=(1,5,k)线性相关,则k 8．若3阶方阵A的三个根分别是1，2，3，则 方阵A的行列式A 6

1

9． 设矩阵A= 0

0

010

100

0 0

1 0 ，则矩阵A的秩为 2 ，线性方程组AX O0 0

的基础解系的向量个数为 3 . 10．给定线性方程组

x1 x2 x3 1

x1 x2 x3 2

（ 1）x3 x1 x2

,

则：当λ≠1且λ≠0 时，方程组有唯一解；当λ= 1 时方程组有无穷解； 当λ= 0 时方程组无解.

2 0 0

11．矩阵A 1 2 1 的特征值为： 1，对应于特征值 1的

1 0 1 0

特征向量为：k 1 ,k 0.

1

12． 设A设方阵A满足A A E,则A ____ 1________.

13．二次型f(x1,x2,x3) x12 2x1x2 2x22 2x2x3 2x32的矩阵的系数矩阵为：

0 1 1 A 1 2 1 ，该二次型为 0 1 2

.

二、计算题（共5分）

设矩阵

2 1

A= 1 1

, 求矩阵X, 使AX A 2E

解 由AX = A+2E 得X A 1(A 2E) 2’

线性代数

2 1 4 1 1 0 3 -2

A A 2E 1 1 1 3 ~ 0 1 -2 5

3 -2

3’

即X -2 5

6 分）

1

1 3 2

124 2

1 ,　 2＝ ,　 3＝ ,　 4＝ .

1132

1 1 1 1

1， 2， 3， 4的一组极大线性无关组,并把其余向量用此组向量表.

1 0 2 0 1 1 3 2

r 4 2 0 1 1 0 1 2

解 1， 2， 3， 4 ~

1 1 3 2 0 0 0 1 -1 1 - 1 1 0 0 0 0

由此可知, 1， 2, 4为一组极大线性无关向量组, 3 2 1 2

6 分）

x1 x2 x3 x4 2

的通解．

2x 2x x x 2234 1 1

增广矩阵B 2

1 2

1 1 -2

r 1 -1 0 0 0

1 -1 2 ~ 0 0 1 -1 2 2’

x1 x2

1’

x3 x4 2

线性代数

x1 x2

可得方程组通解为

x 3 x 4 1 0 0 1 0 0 c c ,c1,c2为任意常数. 2’ 1 2 012

0 1 0

五、限选题（共8分）

（经管类学生可选做第1 …… 此处隐藏：1655字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……