9.1 微分方程的基本概念

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§9.1 微分方程的基本概念

一,微分方程的定义 二,微分方程的解

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一,微分方程的定义定义9.1 含有自变量,未知函数以及未知函数的导数 或微 定义 含有自变量,未知函数以及未知函数的导数(或微的函数方程, 分)的函数方程 称为微分方程 微分方程中出现的未知函数 的函数方程 称为微分方程. 的最高阶导数的阶数, 称为微分方程的阶. 的最高阶导数的阶数 称为微分方程的阶x

z = x+ y y′′ + 2 y′ 3 y = e , 例如, 例如, y′ = xy , x 2 ( t + x )dt + xdx = 0,

实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数( 实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微 之间的关系式. 分)之间的关系式. 著名的科学家伽利略在当年研究落体运动时发现, 例1 著名的科学家伽利略在当年研究落体运动时发现, 如果自由落体在 t 时刻下落的距离为 x , 则 d2 x d2 x (91) 加速度 2 是一个常数 , 即有方程 =g 2 dt dt 从而解得落体运动的规律: 从而解得落体运动的规律

1 2 x ( t ) = gt , 2

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例2 设某地区在 t 时刻人口数量为 P ( t ), 在没有人员 迁入或迁出的情况下, 迁入或迁出的情况下

人口增长率与 t 时刻人口数

P (t )成正比, 于是有微分方程dP ( t ) (9 2) = rP ( t ) dt 其中 r 为常数 , 方程表述的定律称为群体增长的马尔萨斯律.在推广某项新技术时, 例3 在推广某项新技术时 若设该项技术需要推 的总人数为 N , t 时刻已掌握技术的人数 广 P ( t ), 则新技术推广的速度与已 为 推广人数和尚待推广人数成正比, 推广人数和尚待推广人数成正比 即有微分方程 dP (9 3) = aP ( N P ) ( a > 0 ) dt 上式的方程通常称为逻辑斯谛方程, 在很多领域有广泛应用. 形如 上式的方程通常称为逻辑斯谛方程 在很多领域有广泛应用

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例4 若设某商品在时刻 t 的售价为 P , 社会对该商品 的需求量和供给量分别 是 P 的函数 D( P ), S ( P ), 则 在 t 时刻价格 P ( t )对于时间 t 的变化率可认为与该 商品在同时刻的超额需 求量 D( P ) S ( P )成正比 , 即 有微分方程 dP (9 4) = k [ D( P ) S ( P )] ( k > 0 ) dt 在 D( P )和 S ( P )确定的情况下 , 可解出价格与 t 的关系 未知函数为一元函数的微分方程定义为常微分方程; 未知函数为一元函数的微分方程定义为常微分方程 未知函数为多元函数的微分方程定义为偏微分方程. 未知函数为多元函数的微分方程定义为偏微分方程 n 阶 ( 常 ) 微分方程的一般形式是 F ( x , y , y ′ , , y ( n ) ) = 0 (9 5) n 阶线性常微分方程的一 般形式: 般形式: y ( n ) + a 1 ( x ) y ( n 1 ) + + a n 1 ( x ) y ′ + a n ( x ) y = f ( x ) (9 6) 形式的微分方程,统称为非线性方程. 不能表示成形如上式 形式的微分方程,统称为非线性方程

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二,微分方程的解

定义9.2 定义

设函数 y = ( x )在区间 I 上存在 n 阶导数 .

如果将 y = ( x )代入方程 ( 9 5 )后, 使方程( 9 5 )在 I 上为恒等式 , 则称函数 y = ( x )是方程( 9 5 )在 I 上的解. 的解

如果关系式 Φ( x , y ) = 0所确定的隐函数 y =

( x )是方程( 9 5 )的解 , 则称 Φ( x , y ) = 0 是方程 ( 9 5 ) 在区间 I 上的隐式解 . 可以验证, 可以验证, 函数 x = 1 gt 2 , x = 1 gt 2 + C 1 t + C 2 ( C 1 , C 2 2 2 是任意常数 ) 都是方程 ( 9 1 ) 的解 .

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定义9.3 如果方程( )的解中含有n个独立的任意常数, 定义 如果方程(9.5)的解中含有 个独立的任意常数, 个独立的任意常数 则称这样的解为方程(9.5)的通解. 而通解中给任意常数 则称这样的解为方程( ) 以确定值的解, 称为方程( )的特解. 以确定值的解 称为方程(9.5)的特解 (9.5)求特解的步骤: )求特解的步骤: 首先要求出方程 (9.5) 的通解, 然后再根据实际情况给出 ) 的通解, 确定通解中n个常数的条件 称为定解条件 最后根据定解 确定通解中 个常数的条件, 称为定解条件, 个常数的条件 条件求出满足条件的特解. 条件求出满足条件的特解 由定解条件求特解的问题,称为微分方程的定解问题. 由定解条件求特解的问题,称为微分方程的定解问题 常见的定解条件是

y ( x 0 ) = y 0 , y ′ ( x 0 ) = y1 , , y ( n 1 ) ( x 0 ) = y n 1 , ( 9 8 ) ( 9 8 ) 又称为初始条件 , 其中 y 0 , y1 , , y n1 为给定常数 .相应的定解问题又称为微分方程的初值问题. 相应的定解问题又称为微分方程的初值问题

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作业: 作业:P321 1(1)(4)