选修4-5 第二节 课时限时检测

高三第一轮复习同步练习

(时间60分钟满分80分) 1．(2009·江苏高考)设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.

证明：3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(3a2－2b2)(a－b)．因为a≥b>0，所以a－b≥0,3a2－2b2>0，

从而(3a2－2b2)·(a－b)≥0.

即3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.

2．已知a＞0，b＞0，求证b2

a＋

a2

b≥a＋b.

证明：∵a＞0，b＞0，

∴b2

a＋

a2

b－(a＋b)＝(

b2

a－a)＋(

a2

b－b)

＝(b－a)(a＋b)

a＋

(a＋b)(a－b)

b

＝1

ab(a－b)

2(a＋b)≥0，

∴b2

a＋

a2

b≥a＋b.

3．已知x，y，z均为正数，求证：x

yz＋y

zx＋

z

xy≥

1

x＋

1

y＋

1

z.

证明：因为x，y，z均为正数，

所以x

yz＋

y

zx＝

1

z(

x

y＋

y

x)≥

2

z，

同理可得y

zx＋

z

xy≥

2

x，

z

xy＋

x

yz≥

2

y，

当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立，将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得

x yz＋y

zx＋

z

xy≥

1

x＋

1

y＋

1

z.

4．已知a＞0，b＞0,2c＞a＋b，求证：c－c2－ab＜a＜c＋c2－ab. 证明：法一：(分析法)

要证c－c2－ab＜a＜c＋c2－ab，

即要证－c2－ab＜a－c＜c2－ab，

即要证|a－c|＜c2－ab，

即要证(a－c)2＜c2－ab，

即要证a2－2ac＜－ab.

因为a＞0，所以只要证a－2c＜－b，

高三第一轮复习同步练习

即要证a＋b＜2c.

由已知条件知，上式显然成立．所以原不等式成立．法二：(综合法)

因为a＋b＜2c，所以a－2c＜－b.

又因为a＞0，所以a2－2ac＜－ab，

所以(a－c)2＜c2－ab，

所以|a－c|＜c2－ab，

所以－c2－ab＜a－c＜c2－ab，

所以c－c2－ab＜a＜c＋c2－ab.

5．已知a，b，c均为正实数，且ab＋bc＋ca＝1.

求证：(1)a＋b＋c≥3；

(2) a

bc＋

b

ac＋

c

ab≥3(a＋b＋c)．

证明：(1)要证明a＋b＋c≥3，

∵a，b，c为正实数，∴只需证明(a＋b＋c)2≥3，即证明a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac≥3.

又ab＋bc＋ac＝1，

∴只需证明a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.

上式可由ab＋bc＋ca≤a2＋b2

2＋

b2＋c2

2＋

c2＋a2

2＝a

2＋b2＋c2证得，∴原不等式成立．

(2)∵a

bc＋

b

ac＋

c

ab＝

a＋b＋c

abc

.

又由(1)已证a＋b＋c≥3，

∴原不等式只需证明1

abc

≥a＋b＋c，

即证明a bc＋b ac＋c ab≤ab＋bc＋ca.

而a bc＝ab·ac≤ab＋ac

2，b ac≤

ab＋bc

2，

c ab≤ac＋bc

2.

∴a bc＋b ac＋c ab≤ab＋bc＋ca成立．∴原不等式成立．

6．(2010·江苏通州)设a、b、c均为正数，求证：1

2a＋1

2b＋

1

2c≥

1

b＋c

＋

1

c＋a

＋

1

a＋b

.

证明：∵a、b、c均为正数，

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∴12(12a ＋12b )≥12ab ≥1a ＋b

，当a ＝b 时等号成立； 12(12b ＋12c )≥12bc ≥1b ＋c

，当b ＝c 时等号成立； 12(12c ＋12a )≥12ca ≥1c ＋a

，当a ＝c 时等号成立． 三个不等式相加即得12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b

，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 7．若a 、b 、c ∈R ，求证：a 4＋b 4＋c 4≥abc (a ＋b ＋c )．

证明：因为????? a 4＋b 4≥2a 2b 2，b 4＋c 4≥2b 2c 2，

c 4＋a 4≥2c 2a 2，

三式相加得a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2

又因为????? a 2b 2＋b 2c 2≥2a 2b 4c 2＝2ab 2c ，b 2c 2＋c 2a 2≥2abc 2，

c 2a 2＋a 2b 2≥2a 2bc ，

三式相加得a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥a 2bc ＋ab 2c ＋abc 2.

综上，a 4＋b 4＋c 4≥ab 2c ＋a 2bc ＋abc 2＝abc (a ＋b ＋c )．

8．求证：当n ≥2且n ∈N *时，1n ＋1＋1n ＋2

＋…＋13n >910. 证明：(1)当n ＝2时，不等式的左边＝13＋14＋15＋16＝1920>910

， 所以，不等式成立．

(2)假设当n ＝k 时，不等式成立，即1k ＋1＋…＋13k >910. 当n ＝k ＋1时，

左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13(k ＋1) ＝(1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋13k )＋13k ＋1＋13k ＋2＋13(k ＋1)－1k ＋1 >910＋13k ＋1＋13k ＋2＋13(k ＋1)－1k ＋1

. 由于13k ＋1>13(k ＋1)，13k ＋2>13(k ＋1)，因此 左边>910＋13k ＋1＋13k ＋2＋13(k ＋1)－1k ＋1

>910＋13(k ＋1)＋13(k ＋1)＋13(k ＋1)－1k ＋1＝910

. 所以，当n ＝k ＋1时，不等式也成立．

高三第一轮复习同步练习

由(1)，(2)知，不等式对大于1的正整数都成立．