数学必修二空间直角坐标系课件

空间直角坐标系

直线上的点M可以用实数表示 直线上的点 可以用实数表示: 可以用实数表示

O

M

x

x

平面的点M可以用有序实数对表示： 平面的点 可以用有序实数对表示： 可以用有序实数对表示 y 那么立体空间中 M (x0,y0) y0 的点又应该怎样 x 表示呢? 表示呢

O x0

空间直角坐标系

y z

z

x

o

y x

右手系

y

平面的点M用实数对表示： 平面的点 用实数对表示： 用实数对表示 y0 空间坐标系中的点M 空间坐标系中的点M的坐标用 有序实数组(x 有序实数组(x0,y0,z0)来表示 其中: 其中: x0是点M的横坐标, 是点M 横坐标, y0是点M纵坐标, 是点M纵坐标, 是点M z0是点M的竖坐标

x

z

M (x0,y0)

x

O x0

z0

M (x0,y0,z0)

x0

o

y0

y

例1,如图:长方形OABC-DEFG 中,|OA|=3 ,|OC|=4 ,|OD|=2.试写 出O,A,G,F四点的坐标.

解:如图

z

O点坐标为(0,0,0) A点为(3,0,0) E G点为(0,4,2) x A F点为(3,4,2)

D F

o

G C B

y

Ⅲ

z

zox 面

Ⅱ

yoz 面

Ⅳ

xoy 面

Ⅶ Ⅷ

o

y

Ⅵ Ⅴ

Ⅰ

x

空间直角坐标系共有八个卦限 空间直角坐标系共有八个卦限

二、空间两点间的距离

设 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、 M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 为空间两点

z

R

M2

M1

d = M1 M 2 = ?

P

o

x

在直角 M 1 NM 2 Q 及 直 角 M PN 1 N 中， 使用勾股定理 y 可以求得距离 可以求得 求得距离

Q M 1 P = x2 x1 , PN = y2 y1 ,

NM 2 = z2 z1 ,

z

R

M2

M1

P

o

Q N

y

x

2 2

∴d =

M 1 P + PN + NM 2

2

2

M1 M 2 =

( x2 x1 ) + ( y2 y1 ) + ( z2 z1 ) .

2 2

空间两点间距离公式 特殊地： 特殊地：若两点分别为 M ( x , y , z ) , O ( 0,0,0)

d = OM = x 2 + y 2 + z 2 .

例 1 求证以 M 1 ( 4,3,1) 、 M 2 ( 7,1,2) 、 M 3 ( 5,2,3) 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形

解 M 1 M 2 = (7 4)2 + (1 3)2 + ( 2 1)2 = 14,

2

M 2 M 3 = (5 7)2 + ( 2 1)2 + ( 3 2)2 = 6,

2

M 3 M1 =

2

(4 5)2 + ( 3 2)2 + (1 3)2 = 6,

原结论成立. 原结论成立

∴ M 2 M 3 = M 3 M1 ,

例2

轴上， 设 P 在 x 轴上，它到 P1 (0, 2 ,3) 的距离为

的距离的两倍， 的坐标. 到点 P2 (0,1, 1) 的距离的两倍，求点 P 的坐标

解 因为 P 在 x 轴上， P点坐标为 ( x ,0,0), 轴上， 点坐标为 设

PP1 = x 2 + ( 2 )2 + 3 2 = x 2 + 11, PP2 = x + ( 1) + 12 = x 2 + 2 ,

2 2

Q PP1 = 2 PP2 , ∴ x 2 + 11 = 2 x 2 + 2

x = ±1,

所求点为 (1,0,0), ( 1,0,0).

三、小结

空间直角坐标系 点的坐标的表示 （注意它与平面直角坐标系的区别） 注意它与平面直角坐标系的区别） 区别 空间两点M 空间两点 1 (x1,y1 ,z1)与M2(x2,y2 ,z2) 与 间的距离公式: 间的距离公式

M1 M 2 =

( x2 x1 ) + ( y2 y1 ) + ( z2 z1 )

2 2

2