第2章 弹性力学中的变分原理√ 有限元

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第2章 弹性力学中的虚功原理1. 2. 3. 4. 张量在弹性力学中的应用 虚功原理 虚位移原理及其变分形式 最小势能原理

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2.1 张量在弹性力学中的应用1 弹性力学中的物理量一点的位移

{u} {u1 u2 u3}T{ f } { f1 f2 f 3}T ,{F} {F1 F2 F3}T

外力应力 应变

{ } {σ x σ y

σz

σ xy

σ yz

σ zx}T

{ } {ε x

εy

εz

2ε xy

2ε yz

2ε zx}T

这里，应变定义为

1 ui u j ij ( ) 2 xj xi 应力应变也可写成如下形式 xx xy xz [ ] yx yy yz , zx zy zz xx [ ] yx zx

xy xz yy yz zy zz

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2 指标符号 用带有一个下标的符号表示向量(一阶张量)的分量，如ui表示{u} 的分量，fi 表示{ f }的分量；下标 i 取值为1,2,3. 用带有两个下标的符号表示矩阵(二阶张量)的分量，如σij表示[σ] 的分量；下标 i,j 分别取值为1,2,3. 还有三阶、四阶等张量.

3 指标符号的有关约定 取值约定：当某个指标在某方程的同一项中只出现一次时,意味 着该指标应取值1、2、3. 例如下式

ai bi ci

代表三个方程：

a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3

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求和约定：当某个指标在某方程的同一项中出现二次时, 意味着 对该指标从1~3求和，例如

ai bi ai bi a1b1 a2b2 a3b3i 1 3

3

aijbi aijbi a1 j b1 a2 j b2 a3 j b3i 1

aijbi c j aijbi c j a11b1c1 a12b1c2 a13b1c3 a21b1c2 a22b2 c2 a23b3c2 a31b1c3 a32b2 c3 a32b2 c3逗号约定：在一个量的指标后面加逗号，逗号后再跟指标 i (或 ij)等，这意味着该量对xi (或xi , xj ) 求偏导(或二阶偏导),如i 1 j 1

3

3

ai ai , j , bij,k , cij,kl x j xk xk xl

bij

2bij

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注意：取值约定和求和约定同样适用于带逗号的指标.例如， ai,j代表如下九项 a3 a1 a1 a1 a2 , , , , , x1 x2 x3 x1 x3 a1 a2 a3 而 ai ,i x1 x2 x3 综上所述，指标符号会出现如下两种情况：在一项中重复出现的 指标和非重复出现的招标.

重复出现的指标称哑指标，这是因为一项中的重复指标可代换以 其它任何字母而不影响其效果.如

ai bi al bl, aijb jk ainbnk

而非重复出现的指标叫做自由指标，自由指标不能在一项中随意 以其它字母代换.

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4 弹性力学问题基本方程和边界条件的张量记法 将应力应变记为

σij

({ } {σ11 σ 22 σ33 σ12 σ 23 σ31}T )

ij(1) 平衡方程

({ } {ε11 ε22 ε33 2ε12 2ε23 2ε31}T )

11 12 13 2u1 f1 0( 2 ) x2 x3 t x1

2u 2 21 22 23 f 2 0( 2 ) x2 x3 t x1 31 32 33 2 u3 x x x f 3 0( t 2 ) 2 3 1 2 ui 记 ij, j f i 0( 2 ) t (1)

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(2) 几何方程

u1 1 u1 u1 ( 11 x 2 x x ) 1 1 1 u2 1 u2 u2 ) ( 22 x2 2 x2 x2 u3 1 u3 u3 ( ) 33 x3 2 x3 x3 1 u1 u2 12 21 ( ) 2 x2 x1 1 u2 u3 ) 23 32 ( 2 x3 x2 1 u3 u1 ) ( 31 13 2 x x 1 3 1 记 ij (ui , j u j ,i) 2 (2)

这里的剪应变相当于弹性力学中剪应变分量的一半。

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(3) 物理方程

1 1 11 ( 11 ( 22 33 )) [ 11 (1 ) ( 11 22 33 )] E E 1 11 ( 11 22 33 ) 2G E1 11 E ( 11 ( 22 33 )) 1 22 ( 22 ( 33 11 )) E 1 ( ( )) 11 22 33 E 33 1 , 记： ij ij ij kk 1 2G E 12 12 2G 1 1,当 i j 23 2G 23 其中： ij 1 0,当 i j 31 31 2G

(3)

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(4) 边界条件 设边界上一点处外法线为n,令方向余弦为

l1 cos( n, x1 ) l2 cos( n, x2 ) l3 cos( n, x3 )在力的边界s1上有边界条件 11l1 12l2 13l3 F1 21l1 22l2 23l3 F2, 记 ijl j Fi l l l F 31 1 32 2 33 3 3给定位移的边界s2上有关系

(4)

u1 u1 u2 u2 u3 u3, 记 ui ui(5) 奥-高公式(三维问题的分部积分) 设在三维空间里有区域V, V的边界为s,在区域V里，有函 数 f ( x, y, z ),g ( x, y, z ) ,则存在如下关系

f gV

,j

dV f , j g dV f g l j dsV s

(5)

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2.2 虚功原理1 两种可能状态 (1)可能位移和相应的可能应变 满足协调性要求的位移场称为几何可能位 移场，也即满足位移边界条件和单值连续 条件的位移场，简称可能位移.将这样的 可能位移场代入几何方程，求出的应变场 称几何可能应变场，简称可能应变. 从这样的定义来看，可能位移场和相应的 可能应变场是满足了全部协调性要求的位 移场和应变场.进一步地，如果这样的应 变场通过物理方程求出的应力场也满足平 衡方程，则这样的可能位移场和相应的可 能应变场就是问题的真实解，否则就仅仅 是可能的. 可能解有无数多个，而真解只有一个.

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(2)满足平衡要求的可能应力 满足平衡要求和力边界条件

的应力场称为 平衡可能应力场，简称可能应力. 进一步地，如果这样的可能应力场通过物 理方程求出的应变场，通过几何方程求出 的位移场能够满足所有协调性要求，则这 样的可能应力就是问题的真实解，否则就 仅仅是“可能的”.

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2 虚功方程 设一弹性体，体积为V,体积力为 { f } { f1 f 2 f 3}T ,在表面s1 上，受表面力 {F } {F 1 F 2 F 3}T 作用，弹性体内产生应力

{ } { 11 22 33 12 23 31}T{u } {u* * 1

给弹性体一个满足协调性条件的任意可能位移场

u2

*

u }

* T 3

相应的可能应变为

{ *} { 11

*

22* 33* 2 12* 2 23* 2 31*}T

这个位移场不一定与

{ } { 11 22 33 12 23 31}T{F } {F 1 F2 F 3}T,

{ f } { f1

f2

f 3}T,

有任何联系，因此不一定是真实位移.

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考虑{ f },{F } {u *} 在 上做功，称为外力虚功.同时，{σ}也在{ε*} 上做功，称为内力虚功(或称虚应变能).按照常力做功的计 算方法，外力虚功为

( f1u1 f 2u2 f3u3 )dV ( F 1u1 F 2u2 F 3u3 )dS ( F1u1 F2u2 f3u3 )dS* * * * * * * * * V s1 s2

虚变形能为

( 11 11 22 22 33 33 2 12 12 2 23 23 2 31 31 )dV* * * * * * V

虚功原理阐明，对于一个静态平衡的系统，在外力作用下，产 生内力，内外力所做虚功 …… 此处隐藏：2666字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……