根的判别式与韦达定理习题精选

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根的判别式

【例1】当m取什么值时，关于x的方程x2 2(2m 1)x (2m 2)2 0。

（1）有两个相等实根；（2）有两个不相等的实根； （3）没有实根。

答案：（1）m

34

；（2）m

34

；（3）m

34

【例2】求证：无论m取何值，方程9x2 (m 7)x m 3 0都有两个不相等的实根。 分析：列出△的代数式，证其恒大于零。解略。

【例3】当m为什么值时，关于x的方程(m2 4)x2 2(m 1)x 1 0有实根。

分析：题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分m2 4＝0和m2 4≠0两种情形讨论。

略解：当m2 4＝0即m 2时，2(m 1)≠0，方程为一元一次方程，总有实根；当m2 4≠0即m 2时，方程有根的条件是：

△＝ 2(m 1) 4(m2 4) 8m 20≥0，解得m≥

2

52

52

∴当m≥ 一、填空题：

52

且m 2时，方程有实根。综上所述：当m≥

习题（一）

时，方程有实根。

1、下列方程①x2 1 0；②x2 x 0；③x2 x 1 0；④x2 x 0中，无实根的方程是 2、已知关于x的方程x2 mx 2 0有两个相等的实数根，那么m的值是 。

3、如果二次三项式3x2 4x 2k在实数范围内总能分解成两个一次因式的积，则k的取值范围是 。 4、在一元二次方程x2 bx c 0中(b c)，若系数b、c可在1、2、3、4、5中取值，则其中有实数解的方程的个数是 。

5、已知关于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2=1有两个不相等实根,则k的取值范围是____. 6、关于x的方程(k-2)x2-(2k-1)x+k=0有两个不相等实根,则k的取值范围是____. 7、已知方程kx2-2kx+k=x2-x+3有两个不相等实根,则k的取值范围是____. 8、关于x的方程2x(kx-4)-x2+6=0无实根,则k的最小整数值是____. 二、选择题：

9、下列方程中，无实数根的是（ ） A、

x 1

x 0

B、 2y 6 7 C、

y

x 1 2 0 D、x2 3x 2 0

22

10、若关于x的一元二次方程(m 2)x (2m 1)x 1 0有两个不相等的实根，则m的取值范围

是（ ） A、m

34

2

B、m≤

34

C、m

34

且m≠2 D、m≥

34

且m≠2

11、在方程ax bx c 0（a≠0）中，若a与c异号，则方程（ ）

A、有两个不等实根 B、有两个相等实根 C、没有实根 D、无法确定

2

三、试证：关于x的方程mx (m 2)x 1必有实根。

习题（一）答案

一、填空题：1、①；2、 2

2；3、k≤

23

k

；4、10 5、

986、

k

14

且k 2

7、

k

1112

且k 1

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8、2二、选择题：9、C 10、C 11、A三：分两种情况讨论：（1）当m 0时，x 所以方程必有实根。

12

；（2）当m 0时， m

2

4 0

根与系数的关系

例1:已知2x2-3x-1=0的根是x1,x2求|x1-x2|的值. 解:x1 x2

|x1 x2|

32

,x1,x2

2

12

2

2

(x1 x2)

2

94

x1 2x1x2 x2

4 (

12)

94

x1 2x1x2 x2 4x1x2

174

2

22

(x1 x2) 4x1x2

2

例2. 已知关于x的一元二次方程.

x 2(m

2

12

)x m

2

2 0的两个根是

x1,x2,且x1 x1x2 x2 12求m的值

22

解:x1 x2 2(m ) 2m 1,x1 x2 m2 2

2

1

x12 x1x2 x22 12,x12 2x1x2 x22 3x1x2 12

(x1 x2) 3x1x2 12

2

(2m 1) 3(m 2) 12 04m 4m 1 3m 6 12 0m 4m 5 0, m1 5,m2 1

22

2

22

但当m 5时,x 2(m

2

2

12

)x m

2

2 0

是x-9x+23=0此时Δ=(-9)2-4×23=81-92=-11<0

方程无实根 ∴m=-1

22

答:当m 1时,x1 x1x2 x2 12

例3: 已知一元二次方程x2-2kx-5+2k=0的两根是x1,x2且|x1 x2| 42求k的值. 解:由韦达定理得:x1+x2=2k,x1·x2=2k-5

|x1 x2| 42,

22

2

(x1 x2)

2

42

两边平方得:(x1-x2)2=32

x1 2x1x2 x2 32

x1 2x1x2 x2 4x1x2 32(x1 x2)(2k)4k4kk

2

22

2

2

2

4x1x2 32 0

4(2k 5) 32 0

8k 20 32 0 8k 12 0

2k 3 0

k1 3,k2 1

经检验k1=3和k2=-1都适合题意.

例4: 已知m是正实数,关于x的方程2x2-mx-30=0的两根是x1,x2,且5x1+3x2=0，求m的值. 解:由根与系数间的关系可得x1 x2

m2

①x1 x2 15② 由已知条件5x1+3x2=0 ③

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解:1 x2

m2

x1 x2

54

34

m

将方程组的解代入②得

( m

34

m) (m

2

54

m) 15

x1 3x2 0

m

1516

2

15

m=4或m=-4 ∵m是正实数 ∴m=4

例5、已知关于x的方程x2 2(m 2)x m2 5 0有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m的值。

x1 x2 2(m 2) 2

x1x2 m 5 22

x1 x2 x1x2 16

22

4(m 2) 4(m 5) 0

16

由①②③解得：m 1或

m 15

4

∴m 15舍去，故m 1

，又由④可知m≥

9

例6、已知x1、x2是关于x的一元二次方程4x2 4(m 1)x m2 0的两个非零实数根，问：x1与x2能否同号？若能同号请求出相应的m的取值范围；若不能同号，请说明理由。

略解：由 32m 16≥0得m≤

12

。x1 x2 m 1，x1x2

14

m

2

≥0

∴x1与x2可能同号，分两种情况讨论： （1）若x1＞0，x2＞0，则 （2）若x1＜0，x2＜0，则 综上所述：当m≤

12

x1 x2 0 x1x2 0 x1 x2 0 x1x2 0

，解得m＜1且m≠0 ∴m≤，解得m＞1与m≤

12

12

且m≠0

相矛盾

且m≠0时，方程的两根同号。

例7、已知x1、x2是一元二次方程4kx2 4kx k 1 0的两个实数根。 （1）是否存在实数k，使(2x1 x2)(x1 2x2) 存在，请说明理由。

（2）求使

x1x2

x2x1

2的值为整数的实数k的整数值。

k 14k

32

成立？若存在，求出k的值；若不

略解：（1）由k≠0和△≥0 k＜0 ∵x1 x2 1，x1x2 ∴(2x1 x2)(x1 2x2) 2(x1 x2)2 9x1x2 存在。

（2）

x1x2

x2x1

2＝

(x1 x2)x1x2

2

k 94k

32

∴k

95

，但k＜0 ∴不

4

＝

4k 1

，要使

4k 1

的值为整数，而k为整

数，k 1只能取±1、±2、±4，又k＜0 ∴存在整数k的值为－2、－3、－5

例8、x1、x2是方程2x2 3x 5 0的两个根，不解方程，求下列代数式的值：

x1 3x2 3x2

2

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