高中数学数列求和专题复习_知识点_习题

数列求和例题精讲

1． 公式法求和

（1）等差数列前n项和公式 Sn

n(a1 an)

2

n(ak 1 an k)

2

na1

n(n 1)2

d

（2）等比数列前n项和公式 q 1时 Sn na1 q 1时 Sn （3）前n个正整数的和 1 2 3 n

a1(1 q)1 q

n

a1 anq1 q

n(n 1)

2

n(n 1)(2n 1)

6

n(n 1)

2

]

2

前n个正整数的平方和 12 22 32 n2 前n个正整数的立方和 13 23 33 n3 [

公式法求和注意事项 （1）弄准求和项数n的值；

（2）等比数列公比q未知时，运用前n项和公式要分类。

例1．求数列1，4，7， ，3n 1的所有项的和 例2．求和1 x x2 xn 2(n 2,x 0)

2．分组法求和

例3．求数列1，1 2，1 2 3，…，1 2 3 n的所有项的和。

例4．已知数列 an 中，an3．并项法求和

例5．数列 an 中， an ( 1)n 1n2，求S100。 例6．数列 an 中，，an ( 1)n4n，求S20及S35。 4．错位相减法求和

若 an 为等差数列， bn 为等比数列，求数列 anbn （差比数列）前n项 和，可由Sn qSn求Sn，其中q为 bn 的公比。

5n 1(n为奇数)

，求S2m

n

(2)(n为偶数)

。

例7．求和1 2x 3x2 nxn 1（x 0）。

5．裂项法求和:把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。 例8．求和

111 3

13 5

5 7

1

(2n 1)(2n 1)

。

例9．求和12 1

113

2

12

3

。

n 1

n

［练习］

求和：1

111

1 2

1 2 3

……

1 2 3 …… n

（a 2

1

n …… ……，Snn 1

）

6 . 倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

Sn a1 a2 …… an 1 an

aa 相加

Snn an 1 …… a2 1

2Sn a1 an a2 an 1 …… a1 an …… ［

练习

已知f(x)

x

2

1 x

2

，则f(1) f(2) f 1 2 f(3) f 1 1

3 f(4) f 4 1 2

2

（由f(x) f 1

x x

x

2 x 1 x

2

2

11 1

1 x

2

1 x

2

1

x

∴原式 f(1) 1

1 1

f(2) f 2 f(3) f f(4) f 3 4

12

1 1 1 3

12）

］

专题训练 数列求和练习

1、数列{an}的通项an ( ) A．2

、

12122n2n 1

1

1 2 3 n

，则数列{an}的前n项和为

n 2n 1

n2n 1

B．列

2n

数

n 111111,2,3,4, 24816

121

n

C．

的

1

D．

n

可

能

前项

12

n 1

和为

( ) A．

(n n 2)

2

B．(n2 n) 1

212

n

C．(n2 n 2)

2

n

D．(n2 n) 2(1

12

)

3、已知数列{an}的前n项和Sn 2n 1，则a12 a22 an2等于 ( )

A．(2n 1)2 B．(2n 1) C．4n 1 D．(4n 1)

3

3

1

1

4、数列{an}的通项公式an

1n

n 1

*

(n N),若前n项和为10，则项数n为

( ) A．11 B．99 C．120 D．121

5、在数列{an}中，a1 1,a2 2且an 2 an 1 ( 1)n(n N*)，则S100 ． 6、已知Sn 1 5 9 13 17 21 ( 1)n 1(4n 3)，则S15 S22 ．

2

0,S2m 1 38，7、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若m 1,m N,am 1 am 1 am

则m＝ ．

2

8、已知数列{an}中，a1 1，当n 2时，其前n项和Sn满足Sn an(Sn )。

1

2

（1）求Sn的表达式； （2）设bn

Sn2n 1

，求{bn}的前n项和Tn．

32

9、等比数列{an}同时满足下列条件：①a1 a6 33，②a3a4，③三个数4a2,2a3,a4

n

依次成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式； （2）记bn

an

，求数列{bn}的前n

项和Tn

10、等差数列{an}各项均为正整数，a1 3，前n项和为Sn，在等比数列{bn}中，b1 1且b2S2 64，公比为8。 （１）求an和bn；（２）证明：

1S1

1S2

1Sn

34

。