第一章 1.4.3含有一个量词的命题的否定

1.4.3

1.4.3【学习要求】

含有一个量词的命题的否定

1.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.本 讲 栏 目 开 关

2.理解全称命题与特称命题之间的关系. 【学法指导】 要正确地对含有一个量词的全称命题或特称命题进行否 定，我们一方面要充分理解量词的含义，另一方面应充分 利用原先的命题与它的否定在形式上的联系. 通过探究观察，总结规律，容易得到全称命题的否定是特 称命题，以及特称命题的否定是全称命题的结论.

填一填·知识要点、记下疑难点

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1.全称命题的否定：本 讲 栏 目 开 关

全称命题 p: x∈M,p(x), 它的否定綈 p: x0∈M,綈 p(x0). 2.特称命题的否定： 特称命题 p: x0∈M,p(x0), 它的否定綈 p: x∈M,綈 p(x). 3.全称命题的否定是 特称 命题. 特定命题的否定是 全称 命题.

研一研·问题探究、课堂更高效

1.4.3

探究点一 全称命题的否定 问题 1本 讲 栏 目 开 关

我们在上一节中学习过逻辑联结词“非”.对给定

的命题 p,如何得到命题 p 的否定(或綈 p),它们的真假性 之间有何联系？答案 对命题 p 全盘否定，可得到命题綈 p,命题 p 和綈 p 的真假性相反.

研一研·问题探究、课堂更高效问题 2

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你能尝试写出下面含有一个量词的命题的否定吗？

(1)所有矩形都是平行四边形； (2)每一个素数都是奇数； (3) x∈R,x2-2x+1≥0.本 讲 栏 目 开 关

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？

答案 (1)存在一个矩形不是平行四边形； (2)存在一个素数不是奇数；(3) x0∈R,x2-2x0+1<0. 0

原来的三个命题都是全称命题，它们的否定是特称命题.结论 全称命题 p: x∈M,p(x), 它的否定綈 p: x0∈M,綈 p(x0), 全称命题的否定是特称命题.

研一研·问题探究、课堂更高效例 1 写出下列全称命题的否定： (1)p:所有能被 3 整除的整数都是奇数； (2)p:每一个四边形的四个顶点共圆； (3)p:对任意 x∈Z,x2 的个位数字不等于 3.本 讲 栏 目 开 关

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解

(1)綈 p:存在一个能被 3 整除的整数不是奇数.

(2)綈 p:存在一个四边形，它的四个顶点不共圆. (3)綈 p: x0∈Z,x2的个位数字等于 3. 0小结 全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称 命题可补上量词后进行否定.

研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练 1 写出下列命题的否定： (1)三个给定产品都是次品； (2)数列{1,2,3,4,5}中的每一项都是偶数； (3) a,b∈R,方程 ax=b 都有惟一解；本 讲 栏 目 开 关

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(4)可以被 5 整除的整数，末位是 0.

解 (1)是全称命题，其否定：三个给定产品中至少有一个是 正品. (2)是全称命题，其否定：数列{1,2,3,4,5}中至少

有一项不是偶数. (3)是全称命题，其否定： a,b∈R,使方程 ax=b 的解不

惟一.(4)是全称命题，其否定：存在被 5 整除的整数，末位不是 0.

研一研·问题探究、课堂更高效 探究点二 特称命题的否定问题 1 你能写出下列特称命题的否定吗？ (1)有些实数的绝对值是正数； (2)某些平行四边形是菱形；本 讲 栏 目 开 关

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(3) x0∈R,x2+1<0. 0 这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？ 答案 (1)所有实数的绝对值都不是正数； (2)所有平行四边形都不是菱形；(3) x∈R,x2+1≥0. 已知的三个命题是特称命题，它们的否定是全称命题.

结论 特称命题 p: x0∈M,p(x0), 它的否定綈 p: x∈M,綈 p(x). 特称命题的否定是全称命题.

研一研·问题探究、课堂更高效例 2 写出下列特称命题的否定： (1)p: x0∈R,x2+2x0+2≤0; 0 (2)p:有的三角形是等边三角形； (3)p:有一个素数含三个正因数.本 讲 栏 目 开 关

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解

(1)綈 p: x∈R,x2+2x+2>0.

(2)綈 p:所有的三角形都不是等边三角形.(3)綈 p:每一个素数都不含三个正因数.

小结

特称命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别

改变其中的量词和判断词.即 p: x0∈M,p(x0)成立 綈 p: x∈M,綈 p(x)成立.

研一研·问题探究、课堂更高效

1.4.3

跟踪训练 2 写出下列特称命题的否定，并判断其真假. (1)p: x0>1,使 x2-2x0-3=0; 0本 讲 栏 目 开 关

(2)p:若 an=-2n+10,则 n∈N,使 Sn<0.解 (1)綈 p: x>1,x2-2x-3≠0.(假)

(2)綈 p:若 an=-2n+10,则 n∈N,Sn≥0.(假)

研一研·问题探究、课堂更高效探究点三 例3 特称命题、全称命题的综合应用

1.4.3

已知函数 f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1 在区间[-1,1]

上至少存在一个实数 c,使得 f(c)>0.求实数 p 的取值范围.

本 讲 栏 目 开 关

解 在区间[-1,1]中至少存在一个实数 c, 使得 f(c)>0 的否定是在[-1,1]上的所有实数 x,都有 f(x)≤0 恒成立.又由二次函数的图象特征可知， f -1 ≤0, f 1 ≤0, 4+2 p-2 -2p2-p+1≤0, 即 4-2 p-2 -2p2-p+1≤0,

p≥1或p≤-1, 2 即 p≥3或p≤-3. 2

3 ∴p≥ 或 p≤-3. 2

3 故 p 的取值范围是-3<p< . 2

研一研·问题探究、课堂更高效小结

1.4.3

通常对于“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维

的方法处理，先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集 合的补集，可避免繁杂的运算. 跟踪训练 3 已知下列三个方程：(1)x2+4ax-4a+3=0;

(2)x2+(a-1)x+a2=0;(3)x2+2ax-2a=0.若至少有一个本 讲 栏 目 开 关

方程有实数解，求实数 a 的取值范围. 解 当三个

方程都没有实数解时，a 应该满足： 1 3 -2<a<2, Δ1=16a2+4 4a-3 <0, 2 2 1 Δ2= a-1 -4a <0, 解得 Δ =4a2+8a<0, a<-1或a>3, 3 3 -2<a<0, 即- <a<-1. 2 3 故满足题意的 a 的取值范围是{a|a≤- 或 a≥-1}. 2

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1.4.3

1.命题：对任意 x∈R,x3-x2+1≤0 的否定是 A.不存在 x0∈R,x3-x2+1≤0 0 0本 讲 栏 目 开 关

( C )

B.存在 x0∈R,x3-x2+1≥0 0 0 C.存在 x0∈R,x3-x2+1>0 0 0 D.对任意 x∈R,x3-x2+1>0 解析 命题 p: 对任意 x∈R, 3-x2+1≤0 是一个全称命题， x

其否定为特称命题，即綈 p:存在 x0∈R,x3-x2+1>0. 0 0

练一练·当堂检测、目标达成落实处2.对下列命题的否定说法错误的是 的数不是偶数

1.4.3

( C ) A.p:能被 2 整除的数是偶数；綈 p:存在一个能被 2 整除 B.p:有些矩形是正方形；綈 p:所有的矩形都不是正方形

本 讲 栏 目 开 关

C.p:有的三角形为正三角形；綈 p:所有的三角形不都是 正三角形 D.p: x∈R,x2+x+2≤0;綈 p: x∈R,x2+x+2>0

解析

“有的三角形为正三角形”为特称命题，其否定为全

称命题： “所有的三角形都不是正三角形”, 故选项 C 错误.

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1.4.3

3. 命 题 “ 对 任 何 x∈R , |x - 2| + |x - 4|>3” 的 否 定 是 存在x∈R,使得|x-2|+|x-4|≤3 _________________________________.本 讲 栏 目 开 关

4. 命 题 “ 零 向 量 与 任 意 向 量 共 线 ” 的 否 定 为 有的向量与零向量不共线 _________________________.

解析

命题“零向量与任 …… 此处隐藏：2207字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……