等差数列及其前n项和知识点总结、经典高考题解析

等差数列及其前n项和

【考纲说明】

1、理解等差数列的概念，学习等差数列的基本性质. 2、探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和公式. 3、体会等差数列与一次函数的关系. 4、本部分在高考中占5-10分左右.

【知识梳理】

一、等差数列的相关概念 1、等差数列的概念

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．通常用字母d表示。 2、等差中项

如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：A

a b

或2

2A a b

推广：2an an-1 an 1(n 2) 2an 1 an an 2 3、等差数列通项公式

若等差数列 an 的首项是a1，公差是d，则an a1 n 1 d． 推广：an am (n m)d，从而d 4、等差数列的前n项和公式

an am

。 n m

n a1 an n n 1 S S na d． 等差数列的前n项和的公式：①n；②n1

22

5、等差数列的通项公式与前n项的和的关系

s1,n 1

an ( 数列{an}的前n项的和为sn a1 a2 L an).

s s,n 2 nn 1

二、等差数列的性质

1、等差数列与函数的关系 当公差d 0时，

(1)等差数列的通项公式an a1 (n 1)d dn a1 d是关于n的一次函数,斜率为d；

n(n 1)dd

d n2 (a1 )n是关于n的二次函数且常数项 (2)前n和Sn na1

222

为0。

2、等差数列的增减性

若公差d 0，则为递增等差数列，若公差d 0，则为递减等差数列， 若公差d 0，则为常数列。 3、通项的关系

当m n p q时,则有am an ap aq， 特别地，当m n 2p时，则有am an

2ap.

注：a1 an a2 an 1 a3 an 2

4、常见的等差数列

（1）若 an 、 bn 为等差数列，则 an b ， 1an 2bn 都为等差数列。 （2）若{an}是公差为d的等差数列，则Sk,S2k Sk,S3k S2k，…也成等差数列（公差为k2d）。

（3）数列{an}为等差数列,每隔k(k N*)项取出一项(am,am k,am 2k,am 3k, )仍为等差数列。

5、前n项和的性质

设数列 an 是等差数列，d为公差，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，

Sn是前n项的和.

①当项数为偶数2n时，则

n a1 a2n 1

nan 2n a2 a2n

nan 1 S偶 a2 a4 a6 a2n

2

S偶 S奇 nan 1 nan n an 1 an

S奇 a1 a3 a5 a2n 1

S奇nana n S偶nan 1an 1

②当项数为奇数2n 1时，则 Sn 1 S2n 1 S奇 S偶 (2n 1)an+1 S奇 (n 1)an+1

奇

S S aS naSnn+1n+1 奇偶偶 偶

（其中an+1是项数为2n 1的等差数列的中间项） 6、求Sn的最值（或求 an 中正负分界项）

（1）因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性n N*.

（2）①“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和

a 0

即当a1 0，d 0，由 n可得Sn达到最大值时的n值.

an 1 0

②“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和.

an 0

即当a1 0，d 0，由 可得Sn达到最小值时的n值.

an 1 0

三、等差数列的判定与证明

1、等差数列的判定方法：

（1）定义法：若an an 1 d或an 1 an d(常数n N ) an 是等差数列； （2）等差中项：数列 an 是等差数列 2an an-1 an 1(n 2) 2an 1 an an 2；

（3）数列 an 是等差数列 an kn b（其中k,b是常数）；

（4）数列 an 是等差数列 Sn An2 Bn,（其中A、B是常数）. 2、等差数列的证明方法：

定义法：若an an 1 d或an 1 an d(常数n N ) an 是等差数列．

题型一：性质的应用

例1（1）若a4 a7 a10 17,a4 a5 a6 L a14 77，ak 13， an 是等差数列，

求k

（2） an 是等差数列，Sn是其前n项和，若a4 a8 16，求S11

例2（2010山东）已知等差数列 an 满足：a3 7，a5 a7 26， an 的前n项和为Sn.

（Ⅰ）求an及Sn； （Ⅱ）令bn

1*

n N（），求数列 bn 的前n项和为Tn. 2

an 1

题型二：求最值

例3 an 是等差数列，Sn是其前n项和，若S16 0,S17 0,求使得Sn最大的n的值.

例4 aan

n 是等差数列，a1 33,an 1 an 2n，求

n

的最小值.

题型三：证明

例5已知数列 a ，SS1

nn是其前n项和，且Sn满足n 8

(an 2)2， an 是等差数列.

an 0，求证：

等比数列及其前n项和

重要知识点：

1.定义：

an

q(n 2)，q为数列 an 的公比 an 1

2.等比中项：若a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项。提醒：不是

任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个。如已知两个正数a,b(a b)的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为______（答：A＞B）

(q 1) na1

3.等比数列的前n项和公式：sn a1(1 qn)a1 anq

(q 1) 1 q1 q

等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分q 1和q 1两种情形讨论求解。 4.等比数列的性质：

（1）当m n p q时，则有am an ap aq，特别地，当m n 2p时，则有am.an ap2.

（2）一公比为q的等比数列，其和Sk,S2k Sk,S3k S2kL成等比数列，公比为qk. (3)若a1 0,q 1，则{an}为递增数列；若a1 0,q 1, 则{an}为递减数列；若

a1 0,0 q 1 ，则{an}为递减数列；若a1 0,0 q 1, 则{an}为递增数列；若q 0，则{an}为摆动数列；若q 1，则{an}为常数列.

a1na

q 1 aqn b，这里a b 0，但a 0,b 0，这1 q1 q

是等比数列前n项和公式的一个特征，据此很容易根据Sn，判断数列{an}是否为

(4) 当q 1时，Sn

等比数列。如若{an}是等比数列，且Sn 3n r，则r＝

（答：－1）

(5)如果数列{an}既成等差数列又成等比数列，那么数列{an}是非零常数数列. 4.等差数列的判定

①定义法：an an 1q(n 2,q为常数,且 0)

① 2

an 1 an 1(n 2，anan 1an 1 0)②等比中项；an

注①：i. b ac，是a、b、c成等比的双非条件，即b

、b、c

等比数列. ii.

b ac（ac＞0）→为

a、b、c等比数列的充分不必要.

iii. iv.

b ac→为a、b、c等比数列的必要不充分.

a、b、c等比数列的充要.

b ac且ac 0→为

注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个.

5.一些常用公式 ①1+2+3 …+n =

n n 1 2

②12 22 L n2

n(n 1)(2n 1)

6

[注]：熟悉常用通项：9，99，999，… an 10n 1； 5，55，555，… an 5 10n 1 .

9

例1数列{an}中，Sn=4an 1+1 (n 2)且a1=1，若bn an 1 2an，求证：数列{bn}是等比数列。

例2 an 等比，a1 1,q 0，设bn log2a，b1 b3 b5 6,b1 b3 b5 0

n

（1）证明 bn 等差

（2）求 bn 的前n项和和an的通项公式、

等差，等比数列练习

1．（01天津理，2）设Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=n2，则{an}是（ ）

A.等比 …… 此处隐藏：2317字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……