北京理工大学2004年硕士学位研究生入学考试高等代数试题

北京理工大学2004年硕士学位研究生入学考试高等代数试题

北京理工大学2004年攻读硕士学位研究生入学考试试题

一.(20分)证明:实反对称矩阵的特征值的实部为零.

二.(20分)设A和B都是n阶正交矩阵,且|A|+|B|=0,试证A+B不可逆. 三.(20分)证明:线性方程组

a11x1 a12x2 a1nxn b1

ax a22x2 a2nxn b2 211

am1x1 am2x2 amnxn bn

m

有解的充要条件为对任意m个数y1,y2, ,ym,只要 yiaij 0,j 0,1,2,.....n,便有,

i 1

m

i 1

yibi 0.

四.(15分)设A是n阶复方阵,证明:若A2 A 2I,则A可对角化,这里I为n阶单位矩阵. 五.(15分)设A,B分别是数域K上的p n,n m矩阵,令

V {x|x K,ABx 0},W {y|y Bx,x V}

m

证明:W是向量空间Kn的子空间,且

dimW rank(B) rank(AB).

六.(20分)设 为线性空间V上的线性变换,f(x),g(x)为普通的多项式,

(1)证明:ker(f( )) ker(g( )) ker(f( ),g( )),这里(f1(x),f2(x))表示

f1(x),f2(x)的首项系数为1的最大公因式;

(2)证明:若(f(x),g(x)) 1则ker(f( )) ker(g( )) ker(f( ),g( ))

七.(15分)给定不全为零的多项式f1(x),f2(x),f3(x),证明:存在六个多项式

g1(x),g2(x),g3(x),h1(x),h2(x),h3(x)使

f1(x)g1(x)h1(x)

f2(x)g2(x)h2(x)

f3(x)

g3(x) (f1(x),f2(x),f3(x)) h3(x)

北京理工大学2004年硕士学位研究生入学考试高等代数试题

八.(10分)写出你所知道的齐次线性方程组的基础解系的等价条件,并对他们的正确性予以证明.

九.(15分)定义了向量空间内积的实线性空间即为欧氏空间.请说明引入向量内积以及构造标准正交基的目的与意义,并简述标准正交基在理论研究与实际应用中的作用.