北师大版高中数学选修2-3第一章《计数原理》组合(一)

来源：网络收集时间：2026-09-05

导读：北师大版高中数学选修2-3第一章《计数原理》陕科大附中韩伯阳 1 一、教学目标：1、知识与技能：理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合。明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题。 m 2、过程与方法：了解组合数的意

北师大版高中数学选修2-3第一章《计数原理》

陕科大附中

韩伯阳 1

一、教学目标：1、知识与技能：理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合。明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题。

m 2、过程与方法：了解组合数的意义，理解排列数 n与组合数 Cnm 之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算。 3、情感、态度与价值观：能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力。二、教学重难点：理解组合的意义，掌握组合数的计算公式三、教学方法：探析归纳，讨论交流四、教学过程2

情境创设问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 2 3

A 6

问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？甲、乙；甲、丙；乙、丙 33

问题1从已知的 3 个不同元素中每次取出2 个元素 , 按照一定的顺序排成一列.

问题2从已知的 3个不同元素中每次取出2 个元素 , 并成一组

有顺序

排列

组合

无顺序4

概念讲解

组合定义:

一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

排列与组合的概念有什么共同点与不同点？5

概念讲解排列定义: 一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点: 排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关.6

概念理解思考一:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?

1)元素相同； 2)元素排列顺序相同.思考三:组合与排列有联系吗?

元素相同

构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中一个步骤.

判断下列问题是组合问题还是排列问题? (1)设集合A={a,b,c,d,e},则集合A的含有3个元素的子集有多少个? 组合问题 (2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票? 排列问题有多少种不同的火车票价？组合是选择的结果，排列组合问题

是选择后再排序的结果. (3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有多少种分法? 组合问题(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多

少次? 组合问题 (5)从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法? 组合问题 (6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序, 有多少种不同的方法? 排列问题8

概念理解

1.从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是: ab , ac , bc (3个) 2.已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个元素的所有组合.

b c d

c d

ab , ac , ad , bc , bd , cd

(6个)9

练一练

1.写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。 c a b b c c d d d abc , abd , acd , bcd .

组合abc abc acb abd adb acd adc

排列bac bca bad bda cad cda cbd cdb cab cba dab dba dac dca dbc dcb

abd acd

bcd

你发现了 bcd 什么?bdc

不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？ 11

概念讲解

组合数:

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出 m m个元素的组合数，用符号 C n 表示.注意： m Cn 是一个数，应该把它与“组合”区别开来. 如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是: 2

C3 3

如:已知4个元素a 、b 、 c 、 d ,写出每次取出两个 2 元素的所有组合个数是：C4 6

求 A 4可分两步考虑：第一步， C 4 ( 4)个；3

第二步， A3 ( 6)个；3

根据分步计数原理， A4

C A3 4

3 3 .

A 从而C A3 4

3 4 3 3

如何计算:

m n13

概念讲解

组合数公式排列与组合是有区别的，但它们又有联系. 一般地，求从 n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，可以分为以下2步：第1步，先求出从这 n 个不同元素中取出m 个元素 m 的组合数 Cn .m 第2步，求每一个组合中m 个元素的全排列数An .

m An n n 1 n 2 n m 1 m 因此：Cn m Am m! * m、n N,且 m n 这里，这个公式叫做组合

m m m An Cn Am 根据分步计数原理，得到：

数公式.

概念讲解

从 n 个不同元中取出m个元素的排列数

A C Am n m n

m m

组合数公式:

A n(n 1)(n 2) (n m 1) C A m!m n m n m m

n! 0 C 我们规定：Cn 1. m !(n m)!m n15

例题分析例1计算：⑴

4 7

⑵

7 10

(3) 已知

3 n

2 n

,求 n .

例2.甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛， (1)列出所有各场比赛的双方； (2)列出所有冠亚军的可能情况. 解：(1) 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 (2)甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁

乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙

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