反比例函数图像与平移的综合题型

反比例函数图像与平移相关联的问题

2008 威海）如图，点A（m，m+1），B（m+3，m-1）都在反比例函数y=

k x

的图象上．

（1）求m，

k

的值；

（2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式；

（3）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（5，0），点Q的坐标为（0，3），把线段PQ向右平移4个单位，然后再向上平移2个单位，得到线段P1Q1，则点P1的坐标为

（9，2）

，点Q1的坐标为

（4，5）

．

考点：反比例函数综合题．

专题：压轴题；分类讨论．

分析：（1）直接把A、B两点的坐标代入解析式中就可以得到关于m的方程，解方程即可；

（2）存在两种情况：当M点在x轴的正半轴上，N点在y轴的正半轴上时和当M点在x轴的负半轴上，N点在y轴的负半轴上时．无论哪种情况都可以利用平移知识求出M、N的坐标，然后利用待定系数法确定直线MN的解析式；

（3）这个问题比较简单，直接根据平移过程可以得到P1，Q1的坐标．

解答：m=3，

∴A（3，4），B（6，2），

∴k=4×3=12；

（2）存在两种情况，如图： 解：（1）由题意可知，m（m+1）=（m+3）（m-1），解得

①当M点在x轴的正半轴上，N点在y轴的正半轴上时，设M1点坐标为（x1，0），N1点坐标为（0，y1），

∵四边形AN1M1B为平行四边形，

∴线段N1M1可看作由线段AB向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的（也可看作向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到的），

∵A点坐标为（3，4），B点坐标为（6，2），

∴N1点坐标为（0，4-2），即N1（0，2），

M1点坐标为（6-3，0），即M1（3，0），

设直线M1N1的函数表达式为y=k1x+2，把x=3，y=0代入，解得k1=- 2

3

，

∴直线M1N1的函数表达式为y=-

2

3

x+2；

②当M点在x轴的负半轴上，N点在y轴的负半轴上时，设M2点坐标为（x2，0），N2点坐标为（0，y2），

∵AB∥N1M1，AB∥M2N2，AB=N1M1，AB=M2N2， ∴N1M1∥M2N2，N1M1=M2N2，

∴线段M2N2与线段N1M1关于原点O成中心对称， ∴M2点坐标为（-3，0），N2点坐标为（0，-2）， 设直线M2N2的函数表达式为y=k2x-2，

把x=-3，y=0代入，解得k2=-

2 直线MN的函数表达式为y=- 223 2

3

x-2，

∴直线MN的函数表达式为y=- 2

3

x+2或y=-

2 3

x-2；

，