双曲线第一课定义(带动画)

北京摩天大楼

巴西利亚大教堂

法拉利主题公园

花瓶

反比例函数的图像

冷却塔

罗兰导航系统原理

画双曲线演示实验：用拉链画双曲线

画双曲线演示实验：用拉链画双曲线

①如图(A), |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ②如图(B),|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a

由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a (差的绝对值)上面 两条合起来叫做双曲线

根据实验及椭圆定义，你能给双曲线下定义吗？

2.双曲线的定义 回忆椭圆的定义平面内与两个定点 F1, F 平面内与两个定点 F F2的距离的和为一个定 2的距离的差的绝对值 1, 等于常数 (小于︱ F1F2︱) 的点的轨迹叫做双曲线. 值(大于 ︱F1F2︱ )的点的轨迹叫做椭圆 ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距. 注意

M

(1)距离之差的绝对值

F

| |MF1| - |MF2| | = 2a(2)常数要小于|F1F2|大于0

1

o

F2

0<2a<2c

3.双曲线的标准方程1. 建系. 以F1,F2所在的直线为X轴， 如何求这优美的曲线的方程？ 线段F1F 2的中点为原点建立直角坐 标系 2.设点. 设M(x , y),双曲线的焦 距为2c(c>0),F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式. |MF1|F1

yM

o

F2

x

- |MF2|= 2a _ 2a (x-c)2 + y2 = +

即

(x+c)2 + y2 -

4.化简.

(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a( (x c)2 y2 )2 ( (x c)2 y2 2a)2

yM F1

o

cx a2 a (x c)2 y2

(c a ) x a y a (c a )2 2 2 2 2 2 2 2

令c2-a2=b2

x y 2 1 2 a b

2

2

双曲线的标准方程yM

yM F2 x

F

O1

F

2

x

O

F1

x y 2 1 2 a b

2

2

y x 1 2 2 a b

2

2

(a 0,b 0)

思考：如何由双曲线的标准方程来判断它的焦点 是在X轴上还是Y轴上？x2 y2 y2 x2 1与 判断： 1 的焦点位置？ 16 9 9 16

结论： 看

x , y 前的系数，哪一个为正，则

2

2

焦点在哪一个轴上。

双曲线的标准方程与椭圆的 标准方程有何区别与联系?

双曲线与椭圆之间的区别与联系椭定义

圆

双曲线||MF1|-|MF2||=2a

|MF1|+|MF2|=2a

方程

2 2 x2 y 2 x y 2 1(a b 0) 2 1(a 0, b 0) 2 2 a b a b 2 2 y 2 x2 y x 2 1(a b 0) 2 1(a 0, b 0) 2 2 a b a b

焦点

F(±c,0)

F(±c,0)

F(0,±c)a.b.c的关 系

F(0,±c)a>0,b>0,但a不一 定大于b,c2=a2+b2

a>b>0,a2=b2+c2

课堂巩固已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲线上 一点到焦点的距离差的绝对值等于6,则 5 4 3 (1) a=_______ , c =_______ , b =_______

(2) 双曲线的标准方程为______________ (3)双曲线上一点P, |PF1|=10, 4或16 则|PF2|=_________

小结 ----双曲线定义及标准方程定义

| |MF1|-|MF2| | =2a(0 < 2a<|F1F2|)yMM F2

y

图象

F1

o

F2

xF1

x

方程 焦点a.b.c 的关 系

x y 2 1 2 a bF ( ±c, 0)

2

2

y2 x2 2 1 2 a

bF(0, ± c)2 2

c a b2