第二十六章第1-2节概率的预测;模拟实验

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

第26章 随机事件的概率

［学习目标］

知道事件发生的可能性是有大有小的，能求出一些简单事件发生的概率以及做出描述；通过实验等活动，理解事件发生的概率，能用实验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率．

二. 重点、难点：

1. 重点：

理解理论概率与实验结果之间的关系，掌握其规律.

2. 难点：

在解决理论概率中树状图、列表法的应用，体会实验模拟获得的估计值逐渐趋于理论概率这一规律．

三. 知识梳理：

1. 与概率有关的概念

⑴事件的可能性的大小：事件按照其发生的可能性的大小可进行如下分类：

必然事件确定事件 事件 不可能事件

不确定事件(随机事件)

⑵随机事件发生的可能性大小的研究方法：

①凭主观经验估计

②用大数次实验估计

③理性分析预测

⑶概率的含义：表示一个事件发生的可能性大小的数，叫做该事件的概率．

⑷概率的表示和概率的计算公式

P 关注结果 ＝关注结果个数 所有机会均等的结果个数

⑸用频率解释概率：有些问题比较简单，可以通过分析得出概率，但还有很多问题，人们也经常采取重复实验、观察频率值的方法来得到概率．用这种方法估计概率的关键有如下两点：

①要弄清楚我们关注的是发生哪个事件或者哪些结果；

②要弄清楚所有机会均等的结果．

2. 准确分析预测事件发生的概率

⑴分析预测概率的方法：要求的事件发生的结果数与所有等可能发生的结果数的比就是要求的事件的概率．

说明：①概率应为所关注事件的结果与所有可能结果的比值；

②概率值不能大于1；

③同一种分类形式下的所有可能事件的概率和为1．

⑵分析一个事件中所有可能发生的结果及要关注的结果，通常用的表示方法有：画树状

图、列表等方法，将所有等可能发生的结果一一列举出来，从而求得一个事件的概率．

说明：①树状图：在分析问题的过程中，采用画图的方法，这幅图好像倒立的树，有时还画成横树状图；

②按一定规律画树状图，要做到不重不漏；

③画树状图不方便时，可改用列表方式或枚举法，可使结果一目了然．

⑶理性分析预测随机事件的概率（理论概率）与用大数次试验估计概率（实验概率）的区别：

①理论概率是通过理性分析预测得到的；实验概率是通过无数次反复实验后的频率值规律而得到的；

②理论概率是凭借经验和方法得出的，其过程较理性；实验概率是以无数次实验为基础的，得出的过程较直观；

③理论概率的得出节省时间，但分析不当，会得出错误的概率值；实验概率的得出要用大量的时间，实验次数不足，会出现一定的误差．

3. 用替代物模拟实验

在实验中往往会出现找不到相应的实物或用实物进行实验难度很大的情况，或者说复杂的随机事件发生概率不能用列表法和画树状图法求得，这样，用替代物进行实验，会给实验带来很多方便．

说明：⑴同一实验有各种各样的替代物，替代物的选取必须合理，与原来产生的各种可能性相同，又是简单易寻的材料，这样才能保证实验结果的可信度．

⑵模拟实验的原则，必须保证实验在相同条件下进行，还要保证实验的随机性，如摸牌或摸球，放回时一定要注意摇匀．

⑶要重复多次实验．

4. 用计算器模拟实验

有的时候，我们很难找到实物来替代进行模拟实验或用实物替代比较麻烦，为了得到更可靠的估计值，可以用计算器模拟实验．

用计算器产生的随机数与输入数的范围有关，因此在用计算器模拟实验时，必须确定好所需数的范围，例如有30张大小形状相同的卡片，分别写有1到30的数字，从搅匀的盒子里随机抽出1张，结果是5的倍数的机会是多大？在这种情况下，随机数的范围是1到30．

【典型例题】

例1. 课堂教学时，教师问“假如一个母亲生的是双胞胎，那么是龙凤胎的概率是多少？”，心急的小强抢着说“三分之一”，并解释说：“一共有三种可能：两男、两女、一男一女，”，请问小强的回答是否正确？为什么？

分析：这是一个较为有趣的问题，稍不注意就出现错误，其实此题跟“抛两枚硬币，出现一正一反的概率”相同．

解：小强的回答不正确；

因为所有等可能的结果为：两男、两女、一男一女、一女一男，

所以双胞胎是龙凤胎的概率为二分之一．

例2. 交通信号灯，俗称红绿灯，至今已有一百多年的历史了，“红灯停，绿灯行”是我们日常生活中必须遵守的交通规则，这样才能保证交通的顺畅和行人的安全，下面这个问题你能解决吗？

小刚每天骑自行车上学要经过三个安装有红绿灯的路口，假如每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，那么，小刚从家随时出发去学校，他至少遇到一次红灯的概率是多少？

解析：每经过一个路口有一次选择，画树状图应有3个层次，每次不是红就是绿，树状图如下图．所以，小刚经过路口遇到红绿灯的情况共有8种，即：（红，红，红）、（红，红，绿）、（红，绿，红）、（红，绿，绿）、（绿，红，红）、（绿，红，绿）、（绿，绿，红）、（绿，绿，绿）， 所以，小刚从家随时出发去学校至少遇到一次红灯的概率为7 ． 8

例3. 小明和小飞，两人做游戏，抛掷一枚普通的硬币四次，规定掷出“三次正面一次反面” 时小明胜，“两次正面两次反面”时小飞胜，这个游戏规则公平吗？

分析：要讨论游戏是否公平，就是要看两位同学获胜的机会是不是相同，也就是两人的概率是否一样大．类似的这种游戏还有“抽取数字”，“抽取扑克牌”等，这种游戏，根据抽取次数，画出树状图，对结果进行整理和分析即可．

解：用树状图分析一下：

从树状图中可以看出一共有16种机会均等的结果．

1， 4

3“两次正面两次反面”的概率为， 8“三次正面一次反面”的概率为

所以，P（两次正面两次反面）＞P（三次正面一次反面），

即小飞比小明更容易获胜．这个游戏不公平．

例4. 有长度分别为2，4，6，8，10的五根木棍，从中任意抽取三根，能构成三角形的概率是多大？

分析：这是一个实际问题，又和三角形的三边关系结合起来．所以在解答时要注意问题的实际意义，同时要利用统计知识对所有可能的情况进行分析，才能得出正确的答案．

解：五个数，任取三个数的各种可能情况如下：

（2，4，6）．（2，4，8）．（2，4，10）．（2，6，8）．（2，6，10）．（2，8，10）．（4，6，

8）．（4，6，10）．（4，8，10）．（6，8，10）共10种．

其中7种情况不能构成三角形，它们是：

（2，4，6）．（2，4，8）．（2，4，10）． （2，6，8）．（2，6，10）．（2，8，10）．（4，6，10）．

因此，构成三角形的情况有：（4，6，8）．（4，8，10）．（6，8，10）三种情况，则构成三角形的概率为3． 10

例5. 把大小和形状一模一样的6张卡片分成两组，每组3张，分别标上1，2，3，将这

两组卡片分别放入两个盒子中搅匀，再从中各随机抽取一张，试求取出的两张卡片数字之和为偶数的概率．

解析：本题涉及到从两个不同的盒子抽卡片，且需要列出所有的数字的和，所以用列表法列出所有可能出现的结果更有利于解决问题．

所列的表格如下：

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