高考排列组合复习讲义

一、本考点知识结构：

二、考点分析-排列组合

1：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第

二类办法中有m2种不同的方法， ，在第n类办法中有

mn

N m1 m2

mn2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法， ，做第n步有种不同的方法N m1 m2 mn种不同的方法，

那么完成这件事有

mn

3．排列的概念：从n个不同元素中，任取m（m n）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m4．排列数的定义：从n个不同元素中，任取m（m n）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号5．排列数公式：

m,n N,m n） n(n-1)(n-2)(n-3) (n-m+1)（

阶乘：n!表示正整数1到n的连乘积，叫做n0! 1．

7．排列数的另一个计算公式：

n!

=(n m)! 8组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m中取出m m n 个元素并成一组，叫做从n个不同元素

9．组合数的概念：从n个不同元素中取出m

m

m n 个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同

C元素中取出m个元素的组合数．用符号n表示．

m

Cn

=

==

10．组合数公式：

n!

m!(n m)!(n,m N ,且m nmn m0C CC 1； nnn组合数的性质1：．规定：Cmn

mmm 1

CCCnn 1n 2：＝+ （上取大，下加一）

三、例题分析-排列组合

1、解排列组合题的基本思路： ① 将具体问题抽象为排列组合问题，是解排列组合应用题的关键一步 ② 对“组合数”恰当的分类计算是解组合题的常用方法； ③ 是用“直接法”还是用“间接法”解组合题，其前提是“正难则反”； 2、解排列组合题的基本方法： （1） 优先法：

元素分析法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；

（2） 排异法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。 （3） 分类处理：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理得出结论；

注意：分类不重复不遗漏。

（4） 分步处理：对某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决；

在解题过程中，常常要既要分类，以要分步，其原则是先分类，再分步。

（5） 插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好

没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。

（6） 捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”

全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列。

（7） 穷举法：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；这种方法常用于方法数比

较少的问题。 例1. （2010全国卷2理数）（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 （A）12种 （B）18种 （C）36种 （D）54种

例2. （2010北京理数）（4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为

82828282（A）A8A9 （B）A8C9 （C） A8A7 （D）A8C7

例3.（2010四川理数）（10）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是

（A）72 （B）96 （C） 108 （D）144

例4. 用0、1、2、3、4这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有________个

例5. 从6台原装计算机和5台组装计算机中任取5台，其中至少有原装与组装计算机各两台，则不同的选取法有_______种.

例6. （1） 7人站成一行，如果甲乙两人不相邻，则不同排法种数是______. （2）6名同学坐成一排，其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是________种.

例7. 从集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_________条.（答案：30）

例8. 由数字１、２、３、４、5(1）求三个偶数必相邻的七位数的个数；（2

例9. 一排九个坐位有六个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有多少种不同的坐法？

例10. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的数. (1) 能组成多少个四位数？ (2) 能组成多少个自然数？ (3) 能组成多少个六位奇数？

(4) 能组成多少个能被25整除的四位数？ (5) 能组成多少个比201345大的数？

(6) 求所有组成三位数的总和. (32640)

例11.排列组合综合分析

一、相临问题——整体捆绑法

1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？

2. 5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的排法?

二、不相临问题——选空插入法

1． 7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？

2. 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张，8个学生，4个老师，要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？

三、复杂问题——总体排除法或排异法

有些问题直接法考虑比较难比较复杂，或分类不清或多种时，而它的反面往往比较简捷，可考虑用“排除法”，先求出它的反面,再从整体中排除.解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。

1.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有 个.

2. 我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?

3. （2010全国卷1文数）(15)某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3

门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 种.(用数字作答)

四、特殊元素——优先考虑法

对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。 1．(1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法 种． 2．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有 种.

五、多元问题——分类讨论法 ，分步讨论

对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。 1．（2003年北京春招）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（A ） A．42 B．30 C．20 D．12 2．（2003年全国高考试题）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答）

3. （天津卷（文））将3种作物种植在如图的5块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物的不同的种植方法有 种（以数字作答）

B

DA C

E

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