西南科技大学2011至2012学年高数A2期末试题

西南科技大学2011至2012学年高数A2期末试题

西南科技大学2011-2012-2学期

《高等数学A2》本科期末考试试卷（A卷）

一、单项选择题（每题4分，共20分）

1、已知曲面x2 y2 z 5上点P处的切平面平行于平面2x 2y z 2012， 则点P的坐标为( )。

（A）(1, 1,3) （B）(1,1,3) （C）( 1,1,3) （D）( 1, 1,3) 2、z f(x,y)在点(x,y)的偏导数 z及 z存在，是函数f(x,y)在该点可微的

x

y

（ ）。

（A）充分条件而非必要条件 （B）必要条件而非充分条件

（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件 3

、幂级数 ( 1)

n 1

n

n

B. 1,1 . C. 1,1 .

）。

D. 1,1

A. 1,1

x ay dx ydy

4、若为某函数的全微分，则a ( )。 2

x y

(A) 1 (B) 0 (C) 1 (D) 2

f(x,y) xy

5、设函数f(x,y)在点（0，0）的某个邻域内连续且lim 1，则222x 0

y 0

(x y)

有（ ）。

A.点（0，0）不是f(x,y)的极值点

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B. 点（0，0）是f(x,y)的极大值点 C. 点（0，0）是f(x,y)的极小值点

D.无法判断点（0，0）是不是f(x,y)的极值点

1、B；2、B；3、C；4、D；5、A。

二、填空题（每题4分，共20分） 1、级数

n

n

1n

n 1

(n )n

n

的敛散性是 。

2、设z e x f(x 2y)，且当y 0时，z x2，则 z

x

3、设D是闭区域x2 y2 2，则I (x2013 y2011sinx2013 5)dxdy

D

4、已知D是长方形区域：a x b;0 y 3，且 y2f(x)d

D

99，

则 a

b

f(x)dx .

5、设Ω是由球面x2 y2 z2 20122所围成的闭区域，则

z3ln(x2 2y4 3z6 2012)

dxdydz2489 (x 2y 3z 1)

.

1、发散。 2、2(x 2y) e x e2y x。 3、10 。

4、33． 5、0。

三、解答题（必须写出主要的解题步骤和过程，共60分） 1、求极限x 0

y

0

8(xy分）

—————3分

解：原式=x 0y 0

22

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分

1x2y2 lim2

8x 0(x y2)

y 0

3

1( cos )(2 sin )2

0 /2lim38 0

………………5

2、计算二重积分 xy2 y d ，D是由y x2、y 4x2及y 1所围成的闭区

D

域.。（8分）

解： xy2 y d xy2d yd 2 yd ………………4分

D

D

D

D1

1

2 ydx

2 5

………………4分

3、设u f(x,y,z), (x2,ey,z) 0,y sinx,其中f, 都具有一阶连续偏导数，且

0. z

求du。（8dx

分）

dx

解：方程 (x2,ey,z) 0两边对x求导，得 1'.2x 2'.esinxcosx 3'dz 0

2x 1' 2'.esinxcosxdz

.

dx 3'

………………4分

又u f(x,y,z)两边对x求导，

du f f fdz f f f(2x 1' 2'esinxcosx)=+cosx+.= cosx ………4'dx x y zdx x y z 3

分

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4、计算I (2z3 2x)dydz zdxdy，其中 为旋转抛物面z x2 y2介于平面z 0和平面z 4之间的部分的下侧。（8分） 解

：

P (2z3 2x),Q 0,R z

,

P Q R

2, 0, 1 x y z

I

……………2分

(2 0 1)dxdydz

0

0:z 4上侧

D:x2 y2 4

( 4)dxdy

dxdydz 4

D:x2 y2 4

dxdy

2

d rdr 2dz 16 24

r

24

…6

分

(x y)dy5、计算曲线积分 L(x y)dx2，其中L为包围坐标原点（按顺时2

4 (x y)

针方向绕行）的光滑闭曲线。（8分）

解：作辅助线圆l:x2 y2 r2，取逆时针方向。则有

L

Pdx Qdy

L l

Pdx Qdy (Qx Py)dxdy Pdx Qdy…………4

l

D1

l

分 分

0

2

2 1r(cos sin )( rsin ) r(cos sin )(rcos )1 。..42 04 r4 2

6、求二元函数 上的

z x2y(4 x y)在由直线 x y 6，x轴，y轴所围闭区域

最大（小）值。（10分）

z

xy(8 3x 2y) 0 3x 2y 8 x

驻点（2，1）解：令 z，…………2x 2y 4 x2(4 x 2y) 0

y

分

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且有z

(2,1)

4 …………2分

在边界x 0,y 0上均有z 0,在边界x y 6上，

将y 6 x代入函数得，z 2x3 12x2，令dz 6x2 24x 6x(x 4) 0得x 4

dx

z

(4,2)

64,…………2分

z

(2,1)

故所求函数的最大值为

z

(4,2)

4

，所求函数的最小值为

64。…………2分

7、 sin(x

2

y z)dv，其中

是由曲面z

2

322

z R 0且R为常数)所围成。（10分）

解： sin(x

2

y z)dv

2

322

球面坐标

2

d sin d (sinr3)r2dr

60

R

…………………4分

2 (1

1

(1 cosR3)=(2 cosR3) 233

…………………6分